【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,AB ∥ CD.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形.
(2)當(dāng)△ABD滿足什么條件時(shí),四邊形ABCD是正方形.(直接寫出一個(gè)符合要求的條件).
(3)對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O,∠ ADC =120°,AC=8, P為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DP,將DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到線段DP1,直接寫出A P1的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3) .
【解析】(1)先證明四邊形ABCD是平行四邊形,然后證明它是菱形即可.
(2)由(1)已知四邊形ABCD是菱形,所以當(dāng)△ABD是直角三角形時(shí),四邊形ABCD是正方形.
(3)將線段AC順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段CE,并連接AE,點(diǎn)到直線的距離垂線段最短,所以AP1垂直CE時(shí),AP1取最小值,點(diǎn)P1在E點(diǎn),AP1取最大值,即可求解.
證明:(1) AB=AD,CB=CD,∴∠ABD=∠ADB,∠CBD=∠CDB,
∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∴∠ADB=∠CBD,
∴AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形.
(2)要使四邊形ABCD是正方形,則∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,
∴當(dāng)△ABD是直角三角形時(shí),即∠BAD=90°時(shí),四邊形ABCD是正方形;
(3)以點(diǎn)C為中心,將線段AC順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段CE,由題意可知,點(diǎn)P1在線段CE上運(yùn)動(dòng).
連接AE,
∵AC=CE,∠ACE=60°,∴△ACE為等邊三角形,
∴AC=CE=AE=8,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F,
∴.當(dāng)點(diǎn)P1在點(diǎn)F時(shí),線段AP1最短,此時(shí);.
當(dāng)點(diǎn)P1在點(diǎn)E時(shí),線段AP1最長(zhǎng),此時(shí)AP1=8,
..
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】同學(xué)們都知道:|5﹣(﹣2)|表示5與﹣2之差的絕對(duì)值,實(shí)際上也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.請(qǐng)你借助數(shù)軸進(jìn)行以下探索:
(1)數(shù)軸上表示5與﹣2兩點(diǎn)之間的距離是
(2)數(shù)軸上表示x與2的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為 .
(3)同理|x+3|+|x﹣1|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到﹣3和1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和,請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,這樣的整數(shù)是 .
(4)由以上探索猜想|x+10|+|x+2|+|x﹣8|是否有最小值?如果有,直接寫出最小值;如果沒(méi)有,說(shuō)明理由.
(5)由以上探索猜想|x+10|+|x+2|+|x﹣8|+|x﹣10|是否有最小值?如果有,直接寫出最小值;如果沒(méi)有,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是工人師傅用同一種材料制成的金屬框架,已知,,,其中的周長(zhǎng)為24cm,,則制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為( )
A. 45cm B. 48cm C. 51cm D. 54cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司與銷售人員簽訂了這樣的工資合同:工資由兩部分組成,一部分是基本工資,每人每月3000元;另一部分是按月銷售量確定的獎(jiǎng)勵(lì)工資,每銷售一件產(chǎn)品,獎(jiǎng)勵(lì)工資10元.設(shè)某銷售員銷售產(chǎn)品x件,他應(yīng)得工資記為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)該銷售員的工資為4100元,他這個(gè)月銷售了多少件產(chǎn)品?
(3)要使每月工資超過(guò)4500元,該月的銷售量應(yīng)當(dāng)超過(guò)多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,若點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a,點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為b,且a,b滿足|a+2|+(b﹣1)2=0.
(1)求線段AB的長(zhǎng);
(2)點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程2x﹣1=x+2的解,在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使PA+PB=PC,若存在,直接寫出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)在(1)的條件下,將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)B’,此時(shí)在原點(diǎn)O處放一擋板,一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng);同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)B’處以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng),在碰到擋板后(忽略球的大小,可看作一點(diǎn))以原來(lái)的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒),求甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)請(qǐng)直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系;
(2)將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖②,連接AE,請(qǐng)判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),請(qǐng)判斷(2)問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫出證明過(guò)程;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣3x+3與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)A,以線段AB為邊,在第一象限內(nèi)作正方形ABCD,點(diǎn)C落在雙曲線y= (k≠0)上,將正方形ABCD沿x軸負(fù)方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度,使點(diǎn)D恰好落在雙曲線y= (k≠0)上的點(diǎn)D1處,則a= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D,連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AE=6,CE=2 ,求線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號(hào)和π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解九年級(jí)學(xué)生體育測(cè)試情況,以九年級(jí)(1)班學(xué)生的體育測(cè)試成績(jī)?yōu)闃颖,按A,B,C,D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(說(shuō)明:A級(jí):90分~100分;B級(jí):75分~89分;C級(jí):60分~74分;D級(jí):60分以下)
(1)九年級(jí)(1)班體育測(cè)試的人數(shù)為;
(2)請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中A級(jí)所在的扇形的圓心角度數(shù)是;
(4)若該校九年級(jí)有500名學(xué)生,請(qǐng)你用此樣本估計(jì)體育測(cè)試中A級(jí)和B級(jí)的學(xué)生人數(shù)約為多少人?
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