Question

【題目】如圖，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上移動(dòng)，過點(diǎn)O、A、C作矩形OABC，OA=a,OC=b，移在動(dòng)過程中，雙曲線y= (x>0)的圖象始終經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D.

(1)證明：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；

(2) 連結(jié)OE記∠AOE= α.

①當(dāng)α=45°時(shí)，求 a、b之間的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)α=30°，k= 時(shí)，將四邊形OABE沿OE翻折，得四邊形OMNE,記雙曲線與四邊

形OMNE除點(diǎn)E外的另一個(gè)交點(diǎn)為F，求直線DF的解析式

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）① a=2b ②

【解析】分析：（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到E點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法得到雙曲線解析式，把D點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入可求D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，依此即可證明；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到a、b之間的數(shù)量關(guān)系；

②首先過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥OA于點(diǎn)G，由∠EOA=30°，k=，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，又由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后由折疊的性質(zhì)，可得∠FOA=60°，即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得直線DF的解析式．

詳解： ，

，

，得：，

，

，.

.

=，

，

，

，.

(3)如圖，過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥OA于點(diǎn)G，

∵∠AOE=30°,k=，

∴=，

∴OH=EH，

∵S△EOH=OHEH=k=，

∴EH=1,OH=，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴OA=2OH=2，

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，

則y=，

∴點(diǎn)D(2,)，

由折疊的性質(zhì)可得：∠FOA=2∠AOE=60°，

∴FG:OG=，

∵S△FOG=OGFG=k═，

∴OG=1,FG=，

∴點(diǎn)F(1,)，

設(shè)直線EF的解析式為：y=ax+b，

則，

解得：，

∴直線EF的解析式為：y=x++.