Question

如圖，⊙O中，=，點(diǎn)C在上，BH⊥AC于H．求證：AH=DC+CH．

Answer 1

【答案】分析：首先在HA上截取HE=HC，連接BE，由BH⊥AC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由AB=BD，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，則∠BEC=∠BAD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，從而可證出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，繼而可證得：AH=DC+CH．
解答：證明：在HA上截取HE=HC，連接BE，
∵BH⊥AC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵=，
∴∠ADB=∠BAD，AB=BD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
∵∠BAE=∠BDC，AB=DB，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，
∴AH=AE+EH=DC+CH．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．