Question

【題目】閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經過B、C兩點，頂點D在正方形內部．

（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線 ;

（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于y軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？

Answer 1

【答案】（1）y=n，x=m，y=-x+m+n，y=x-m+n；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據特征線的定義以及性質直接求出點D的特征線；

（2）由點D的一條特征線和正方形的性質求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式；

（3）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質計算即可．

（1）∵點D

∴D的特征線是

（2）∵點D有一條特征線是

∴

∴

∵拋物線的解析式為

∴

∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，

∴

∴

∴

將代入中

解得

∴拋物線的解析式為

（3）①如圖，當點在平行于y軸的D點的特征線時

根據題意可得

∴

∴

∴

∴

∴拋物線需要向下平移的距離

②如圖，當點在平行于x軸的D點的特征線時，設

則

∴

設

在中，

解得

∴

∴直線OP解析式為

∴

∴拋物線需要向下平移的距離

即拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．