Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l從與AC重合的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）①當(dāng)α=______度時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____；
②當(dāng)α=______度時(shí)，四邊形EDBC是直角梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）①當(dāng)四邊形EDBC是等腰梯形時(shí)，
∵∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=30°，
∴△ADO是等腰三角形，
∴AD=OD，
過(guò)點(diǎn)O作OF∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OF⊥AC，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF=

1

2

BC=1，
∵α=∠EDB-∠A=30°，
∴∠ODF=60°=∠DOF=60°，
∴△ODF是等邊三角形，
∴OD=OF=DF=1，
∵∠A=∠α=30°，
∴AD=OD=1；

②當(dāng)四邊形EDBC是直角梯形時(shí)，∠ODA=90°，而∠A=30°，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得α=90°-∠A=60°，此時(shí)，AD=

1

2

AC×

3

2

=1.5．

（2）當(dāng)∠α=90°時(shí)，四邊形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四邊形EDBC是平行四邊形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=2

3

，
∴AO=

1

2

AC=

3

．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=

1

2

AD，
AD=

AO2+OD2

=

( 3 )2+( 1 2 AD)2

，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四邊形EDBC是平行四邊形，
∴四邊形EDBC是菱形．