【題目】如圖,已知ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=2和x=5上,O是坐標(biāo)原點(diǎn),則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為

【答案】7
【解析】解:過點(diǎn)B作BD⊥直線x=5,交直線x=5于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥x軸,交x軸于點(diǎn)E,直線x=2與OC交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)F,直線x=5與AB交于點(diǎn)N,如圖: ∵四邊形OABC是平行四邊形,
∴∠OAB=∠BCO,OC∥AB,OA=BC,
∵直線x=2與直線x=5均垂直于x軸,
∴AM∥CN,
∴四邊形ANCM是平行四邊形,
∴∠MAN=∠NCM,
∴∠OAF=∠BCD,
∵∠OFA=∠BDC=90°,
∴∠FOA=∠DBC,
在△OAF和△BCD中,
,
∴△OAF≌△BCD(ASA).
∴BD=OF=2,
∴OE=5+2=7,
∴OB=
由于OE的長(zhǎng)不變,所以當(dāng)BE最小時(shí)(即B點(diǎn)在x軸上),OB取得最小值,最小值為OB=OE=7.
故答案為:7.

過點(diǎn)B作BD⊥直線x=5,交直線x=5于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥x軸,交x軸于點(diǎn)E.則由勾股定理可求出OB的長(zhǎng).由于四邊形OABC是平行四邊形,所以O(shè)A=BC,又由平行四邊形的性質(zhì)可推得∠OAF=∠BCD,則可證明△OAF≌△BCD,所以O(shè)E的長(zhǎng)固定不變,當(dāng)BE最小時(shí),OB取得最小值,從而可求.

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