Question

【題目】問題提出：

(1)如圖①，在正方形中，，點(diǎn)，分別在，上，連接，若，，以為斜邊，向下作直角三角形，則在邊上存在 個(gè)符合條件的直角頂點(diǎn)；

問題探究：

(2)如圖②，在(1)的條件下，是符合題意的一個(gè)直角三角形，求的面積；

問題解決：

(3)某小區(qū)有一個(gè)邊長(zhǎng)為40米的正方形活動(dòng)區(qū)域，小區(qū)物業(yè)在一面墻的處安裝臺(tái)監(jiān)控器，該監(jiān)控器的視角為，監(jiān)控器可以左右來回轉(zhuǎn)動(dòng)，并且可以監(jiān)控該區(qū)域的每一個(gè)地方．如圖③，正方形是過點(diǎn)的一個(gè)水平面，，與正方形在同一個(gè)平面內(nèi)，連接，若為面積的最值．

Answer 1

【答案】(1)2;(2);(3) 的面積最大值為500，最小值為400.

【解析】

(1) 過F作FH⊥DC與DC相交于H,設(shè)BE=x，分別在Rt△GHF、Rt△BEF和Rt△ECG利用勾股定理表示FE2、EG2、FG2,根據(jù)BC上存在點(diǎn)E使得為直角三角形，則需滿足，化簡(jiǎn)后的式子為一元二次方程，根據(jù)方程的解有兩個(gè)，即可判斷這樣的點(diǎn)有兩個(gè)；

（2）根據(jù)（1）中可求得BE=1，分別求出EF和EG即可求出的面積；

（3）分G在AD上和G在CD上兩種情況討論.可借助“割補(bǔ)法”表示的面積，根據(jù)a的取值范圍可分別求得面積的最大值和最小值.

(1)如圖過F作FH⊥DC與DC相交于H，

∴∠FHC=∠FHG=90°

∵四邊形為正方形，

∴∠B=∠C=90°，BC=AD=4，

∴四邊形為矩形，

∴,FH=BC=4.

∵，

∴

在Rt△GHG中根據(jù)勾股定理

.

假設(shè)BC上存在E，且BE=x，則EC=4-x.

則在Rt△BEF和Rt△ECG中根據(jù)勾股定理

，

.

要使△EFG為直角三角形，則根據(jù)勾股定理的逆定理

即

化簡(jiǎn)得

∵

∴該方程有兩個(gè)不相等的解，即符合條件的E點(diǎn)有兩個(gè)

故填：2.

（2）解得

∵

∴BE=1，

此時(shí)，即FE= ，

，即

∴的面積=.

(3)分兩種情況討論：

①如下圖，當(dāng)G點(diǎn)在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接FG，過G點(diǎn)作GH⊥BC，與BC相交于H.

∴∠GHE=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∵，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

∵∠B=∠GHE=90°，

∴Rt△BEF∽Rt△HGE

∴,

設(shè)BF=a，則EH=2a

∵EH≤EC=20

∴0≤x≤10

此時(shí)，當(dāng)a=10時(shí)，取得最大值.當(dāng)a=0時(shí)，取得最小值.

②如下圖，時(shí)，G在CD上時(shí)，連接FG以FG中點(diǎn)O為圓心以OF為半徑作圓，

∵∠FEG=90°，

∴E點(diǎn)在⊙O上

設(shè)BF=a，CG=b，

∵E為BC中點(diǎn)，FO=OG

∴，

∴FG=2OF=a+b

當(dāng)FG//BC時(shí)，⊙O的半徑最小，即a+b最小此時(shí)a+b=FG=BC=40，；

與①同理可證Rt△BEF∽Rt△CGE

∴,即

即，a與b成反比例函數(shù)關(guān)系，

⊙O與DC相交于I，連接FI，

∴∠FIG=90°

∵∠B=∠C=90°

∴四邊形BCIF為矩形，

∴IC=BF=a，GI=GC-IC=b-a

在Rt△FIG中，根據(jù)勾股定理

,即

∴當(dāng)|b-a|最大時(shí)a+b的值最大，

∵

∴當(dāng)a=10，b=40，a+b=50，

或a=40時(shí)，b=10，a+b=50，此時(shí)最大，最大為500.

綜合①②，的面積最大值為500，最小值為400.