【題目】(問題背景)
如圖1,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
小吳同學(xué)探究此問題的思路是:將△BCD繞點D,逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點B,C分別落在點A,E處(如圖2),易證點C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,從而得出結(jié)論:AC+BC=CD
(簡單應(yīng)用)
(1)在圖1中,若AC=3, CD=,則AB= .
(2)如圖3,AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,∠C=45°,若AB=13,BC=12,求CD的長.
(拓展規(guī)律)
(3)如圖4,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,CD=n,則BC的長為 .(用含m,n的代數(shù)式表示)
【答案】(1) 5; (2);(3) .
【解析】
(1)代入結(jié)論:AC+BC=CD,直接計算即可;
(2)如圖3,作輔助線,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得:∠ADB=∠ACB=90°,由弧相等可知所對的弦相等,得到滿足圖1的條件,所以AC+BC=CD,代入可得CD的長;
(3)如圖4,根據(jù)小吳同學(xué)的思路作輔助線,構(gòu)建全等三角形:將△BCD繞點D,逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點B,C分別落在點A,E處,得△BCD≌△AED,證明△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,從而得出結(jié)論.
(1)由題意知:AC+BC=CD,∴3+BC=×,∴BC=4,∴AB==5.
故答案為:5;
(2)如圖3,連接AC、BD、AD.
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ACB=90°.
∵=,∴AD=BD.
∵AB=13,BC=12,∴由勾股定理得:AC=5,由圖1得:AC+BC=CD,5+12=CD,∴CD=;
(3)如圖4.
∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A、B、C、D在以AB為直徑的圓上,∴∠DAC=∠DBC,將△BCD繞點D,逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點B,C分別落在點A,E處,∴△BCD≌△AED,∴CD=ED,∠ADC=∠ADE,∴∠ADC﹣∠ADC=∠ADE﹣∠ADC,即∠ADB=∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD.
∵AC=m,∴CE=,BC= AE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點D、E分別是射線AB、射線CB上的動點,點D從點A出發(fā)沿射線AB移動,點E從點B出發(fā)沿BG移動,點D、點E同時出發(fā)并且運(yùn)動速度相同.連接CD、DE.
(1)如圖①,當(dāng)點D移動到線段AB的中點時,求證:DE=DC.
(2)如圖②,當(dāng)點D在線段AB上移動但不是中點時,試探索DE與DC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖③,當(dāng)點D移動到線段AB的延長線上,并且ED⊥DC時,求∠DEC度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售月內(nèi),每售出1噸該產(chǎn)品獲利500元,未售出的產(chǎn)品,每1噸虧損300元.根據(jù)歷史資料記載的20個月的銷售情況,得到如圖所示的銷售月內(nèi)市場需求量的頻數(shù)分布直方圖.經(jīng)銷商為下一個銷售月購進(jìn)了130噸該農(nóng)產(chǎn)品,以x(單位:噸,100≤x≤150)表示下一個銷售月內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售月內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.
完成下列問題:
(1)根據(jù)直方圖可以看出,銷售月內(nèi)市場需求量的中位數(shù)在第_________組.
(2)當(dāng)100≤x≤150時,用含x的代數(shù)式或常數(shù)表示T;
(3)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAD是△ABC的一個外角,∠BAC、∠BAD的平分線分別交⊙O于點E、F.請你在圖上連接EF.(1)證明:EF是⊙O的直徑;(2)請你判斷EF與BC有怎樣的位置關(guān)系?并請證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題;如圖,已知中,,用尺規(guī)作圖的方法在上取一點,使得.下面是四個同學(xué)的作法,其中正確的是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的圖象如圖所示,下列四個判斷中正確的個數(shù)是( )
①,,;②;③;④.
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一條拋物線與軸的交點為、兩點,其頂點在折線上運(yùn)動.若、、的坐標(biāo)分別為、、、,點橫坐標(biāo)的最小值為,則點橫坐標(biāo)的最大值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果二次函數(shù)y=x2+(k+2)x+k+5的圖象與x軸的兩個不同交點的橫坐標(biāo)都是正的,那么k值應(yīng)為( 。
A. k>4或k<﹣5 B. ﹣5<k<﹣4 C. k≥﹣4或k≤﹣5 D. ﹣5≤k≤﹣4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O的直徑AB的長為10,弦AC的長為5,∠ACB的平分線交O于點D.
(1)求∠ADC的度數(shù);
(2)求弦BD的長.
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