Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BG⊥CD于點G．
（1）若點P在BC上，過點P作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，求證：PE+PF=BG．
（2）若AD=4，BC=6，AB=2，求BG的長．

Answer 1

分析：（1）運用“截長補短”的思想證明．作PM⊥BG于M．則四邊形PMGF是矩形，PF=MG；再證PE=BM，轉證△PBE≌△BPM即可．
（2）過點D作DN∥AB交BC于點N．證明△DNC是等邊三角形，則∠C=60°．在Rt△BGC中運用三角函數求解．

解答：解：（1）作PM⊥BG于M．
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PM⊥BG，
∴四邊形PMGF為矩形，PF=MG．
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C．
∵PM⊥BG，CD⊥BG，
∴PM∥CD．
∴∠MPB=∠C=∠EBP．
又∵∠BEP=∠PMB=90°，BP=PB，
∴△BEP≌△PMB，
∴PE=BM．
∴PE+PF=BM+MG=BG；

（2）過點D作DN∥AB交BC于點N．
則ABND是平行四邊形，DN=AB=DC=2．
∵BC=6，AD=4，
∴NC=2，
∴△DNC是等邊三角形，∠C=60°，
∴BG=BC•sin60°=6×

3

2

=3

3

．

點評：此題考查了等腰梯形的性質．證明線段的和差問題常用截長補短的方法；平移腰是解決梯形問題時常作的輔助線．