Question

如圖，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為（8，6），A、C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點，設(shè)PC=m，已知點D在第一象限，且是兩直線y₁=2x+6、y₂=2x-6中某條上的一點，若△APD是等腰Rt△，則點D的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：此題應(yīng)考慮兩種情況：
①點D在直線y=2x+6上，然后再分三種情況進行討論：
1、D為直角頂點，2、A為直角頂點，3、P為直角頂點；
②點D在直線y=2x-6上，同上，也需分三種情況討論；
在求解過程中，要結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)進行求解．

解答：解：易知：A（0，6），C（8，0），AB=8，OA=BC=6；
則點A正好位于直線y=2x+6上；
（1）當(dāng)點D位于直線y=2x+6上時，分三種情況：
①點P為直角頂點，結(jié)合圖形，顯然此時點D位于第三象限，不合題意；
②點D為直角頂點，那么∠DAP=45°，結(jié)合圖形2可知：∠DAB＞45°，
而點P位于線段BC上，故不存在這樣的等腰直角三角形；
③點A為直角頂點，如圖；
過D作DE⊥y軸于E，則△ADE≌△APB，得：AE=AB=8；
即點D的縱坐標(biāo)為：14，代入y=2x+6中，可求得
點D（4，14）；

（2）當(dāng)點D位于直線y=2x-6上時，分三種情況：
①點A為直角頂點，結(jié)合圖形可知，此種情況顯然不合題意；
②點D為直角頂點，分兩種情況：
1、點D在矩形AOCB的內(nèi)部時，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)D（x，2x-6）；
則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；
則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12-2x=8-x，x=4；
∴D（4，2）；
2、點D在矩形AOCB的外部時，設(shè)D（x，2x-6）；
則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；
同1可知：△ADE≌△DPF?AE=DF，即：
2x-12=8-x，x=

20

3

；
∴D（

20

3

，

22

3

）；
③點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部；
設(shè)點D（x，2x-6），則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；
易證得△APB≌△PDF，得：
AB=PF=8，PB=DF=x-8；
故BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；
聯(lián)立兩個表示BF的式子可得：
2x-12=16-x，即x=

28

3

；
∴D（

28

3

，

38

3

）；
綜合上面六種情況可得：存在符合條件的等腰直角三角形；
且D點的坐標(biāo)為：（4，2），（4，14），（

20

3

，

22

3

），（

28

3

，

38

3

）．

點評：此題考查了點的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形以及全等三角形等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用，需要考慮的情況較多，難度較大．