Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）判斷拋物線的頂點(diǎn)與直線L：y=-x+2的位置關(guān)系；
（2）設(shè)該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)OM•ON=4，且OM≠ON時(shí)，求出這條拋物線的解析式；
（3）直線L交x軸于點(diǎn)A，（2）中所求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B．那么在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使⊙P與直線L和x軸同時(shí)相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2=-（x-m）²-m+2，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用已知得出x₁x₂=m²+m-2，|m²+m-2|=4，進(jìn)而求出m的值，再利用根的判別式得出m的取值范圍，進(jìn)而求出；
（3）分別利用點(diǎn)P₁到直線L的距離P₁Q₁為a，以及點(diǎn)P₂到直線L的距離P₂Q₂為b求出即可．

解答：解：（1）由拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2=-（x-m）²-m+2，
得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m+2），顯然滿(mǎn)足y=-x+2
∴拋物線的頂點(diǎn)在直線L上．

（2）設(shè)M（x₁，0），N（x₂，0），且x₁＜x₂．
由OM•ON=4，OM≠ON，得|x₁•x₂|=4．
∵x₁x₂=m²+m-2，∴|m²+m-2|=4．
當(dāng)m²+m-2=4時(shí)，m₁=2，m₂=-3
當(dāng)m²+m-2=-4時(shí)，?△＜0，此方程無(wú)解，
∵△₁=（2m）²-4（m²+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
則拋物線的解析式為y=-x²-6x-4．

（3）拋物線y=-x²-6x-4的對(duì)稱(chēng)軸為x=-3，頂點(diǎn)（-3，5）．
依題意，∠CAB=∠ACB=45°．
若點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)P₁（-3，a）（a＞0），
則點(diǎn)P₁到直線L的距離P₁Q₁為a（如圖），
∴△CP₁Q₁是等腰直角三角形．
∴a+

2

a=5，a=5

2

-5．
∴P₁（-3，5

2

-5)．
若點(diǎn)P在x軸的下方，設(shè)P₂（-3，-b）（b＞0），
則點(diǎn)P₂到直線L的距離P₂Q₂為b（如圖），
同理可得△CP₂Q₂為等腰直角三角形，
∴b+5=

2

b，b=5

2

+5．
∴P₂（-3，-5

2

-5)．
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，
即（-3，5

2

-5）和（-3，-5

2

-5）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求法以及一元二次方程的解法和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．