Question

（2013•昭通）如圖，在⊙C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

3

4

，拋物線y=a（x-2）²+m（a≠0）經(jīng)過點A（4，0）與點（-2，6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D，動點P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動，同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動，點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長．當PQ⊥AD時，求運動時間t的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解析式即可；
（2）連接AC交OB于E，作OF⊥AD于F，得出m∥OB，進而求出OD，OF的長，進而利用勾股定理得出DF的長．

解答：解：（1）將點A（4，0）和點（-2，6）的坐標代入y=a（x-2）²+m中，得方程組，

4a+m=0 16a+m=6

解得

a= 1 2 m=-2

，
故拋物線的解析式為y=

1

2

x²-2x．

（2）如圖所示，連接AC交OB于E．作OF⊥AD于F，
∵直線m切⊙C于點A，
∴AC⊥m．
∵弦AB=AO，
∴

OA

=

AB

．
∴AC⊥OB，
∴m∥OB．
∴∠OAD=∠AOB．
∵OA=4，tan∠AOB=

3

4

，
∴OD=OA•tan∠OAD=4×

3

4

=3．
則OF=OA•sin∠OAD=4×

3

5

=2.4．
t秒時，OP=t，DQ=2t，
若PQ⊥AD，則 FQ=OP=t．DF=DQ-FQ=t．
∴△ODF中，t=DF=

OD2-OF2

=1.8（秒）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及垂徑定理的推論和勾股定理等知識，根據(jù)切線的性質以及銳角三角函數(shù)關系得出OF的長是解題關鍵．