Question

(1)如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE.求證：CE＝CF；

(2)如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE＝45°，請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD；
(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：
如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面積．

Answer 1

(1) (2)見(jiàn)解析        (3)108

(1)證明：∵四邊形是ABCD正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，
∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．
∴CE＝CF.
(2)證明：如圖①，延長(zhǎng)AD至F，使DF＝BE，連接CF.

由(1)知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF.
∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°.
∵CE＝CF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG.
∴GE＝GF，
∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD.
(3)解：如圖②，過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G.

在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四邊形ABCG為正方形．
∴AG＝BC.
∵∠DCE＝45°，
根據(jù)(1)(2)可知，ED＝BE＋DG.
∴10＝4＋DG，即DG＝6.
設(shè)AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6，
在Rt△AED中，
∵DE²＝AD²＋AE²，
即10²＝(x－6)²＋(x－4)².
解這個(gè)方程，得：x＝12或x＝－2(舍去)．
∴AB＝12.
∴S_梯形ABCD＝ (AD＋BC)·AB
＝×(6＋12)×12＝108.
即梯形ABCD的面積為108.