Question

已知點A（3，4），點B為直線x=-1上的動點，設B（-1，y）．
（1）如圖1，若點C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）在（1）的條件下，y是否有最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由；
（3）如圖2，當點B的坐標為（-1，1）時，在x軸上另取兩點E，F(xiàn)，且EF=1．線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最��？求出此時點E的坐標．

Answer 1

（1）（2）y沒有最大值，理由見解析（3）EF平移至如圖2所示位置時，四邊形ABEF的周長最小，此時點E的坐標為（，0）

解：（1）如圖1，過點A作AE⊥x軸于點E．

在△BCD與△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD≌△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（-1，y），C（x，0）且-1＜x＜3，
∴y：（3-x）=（x+1）：4，
∴（-1＜x＜3）；
（2）y沒有最大值．理由如下：
∵
又∵-1＜x＜3，
∴y沒有最大值；
（3）如圖2，過點A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，交x軸于點E，在x軸上截取線段EF=1，則此時四邊形ABEF的周長最�。�

∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．
設直線A′B′的解析式為y=kx+b，
則，
解得．
∴直線A′B′的解析式為，
當y=0時，，解得．
故線段EF平移至如圖2所示位置時，四邊形ABEF的周長最小，此時點E的坐標為（，0）
（1）過點A作AE⊥x軸于點E，先證明△BCD≌△CAE，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）先運用配方法將寫成頂點式，再根據(jù)自變量x的取值范圍即可求解；
（3）欲使四邊形ABEF的周長最小，由于線段AB與EF是定長，所以只需BE+AF最小．為此，先確定點E、F的位置：過點A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，交x軸于點E，在x軸上截取線段EF=1，則點E、F的位置確定．再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出點E的橫坐標，進而得出點E的坐標