Question

【題目】△ABC和△CDE是以點(diǎn)C為公共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形．

（1）如圖1，當(dāng)AB＝AC，CD＝CE，∠BAC＝∠DCE＝90°時(shí)，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接AM．探究AM、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2，當(dāng)AB＝AC，∠BAC＝120°，∠CDE＝60°，∠DCE＝90°時(shí)，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接AM．探究AM、BE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）BE＝2AM；（2）AM⊥BE，且BE＝2AM．

【解析】

（1）延長(zhǎng)AM、DC交于點(diǎn)P，利用BD的中點(diǎn)M構(gòu)建全等的三角形△ABM≌△PDM，得出AP＝2AM；再證△ABE≌△ACP，證出BE＝AP＝2AM；

（2）取BC的中點(diǎn)P，連接MP、AP，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N，交BE于點(diǎn)H,利用三角形的中位線得到CD=2MP,在利用直角三角形△DCE證得＝2，利用等腰三角形的性質(zhì)同理得到＝2，由此得到＝，再證△APM∽△BCE得到＝＝2，即BE＝2AM；再根據(jù)等角的代換關(guān)系得到∠EBC+∠BNH＝90°即∠AHB＝90°，得到AM⊥BE.

（1）BE＝2AM．

證明：如圖1，延長(zhǎng)AM、DC交于點(diǎn)P，

∵∠BAC＝∠DCE＝90°，∴AB∥CD，

∴∠1＝∠P．

∵M是BD中點(diǎn)，

∴BM＝DM．

∵∠3＝∠2，

∴△ABM≌△PDM（AAS）．

∴AB＝PD＝AC，AM＝PM．

∴AP＝2AM．

∵CD＝CE，

∴AC﹣CE＝DP﹣CD，即AE＝CP．

∵∠ACP＝180°﹣∠DCE＝90°＝∠BAC，

AB＝AC，

∴△ABE≌△ACP（SAS）

∴BE＝AP＝2AM．

（2）AM⊥BE，且BE＝2AM．

證明：如圖2，取BC的中點(diǎn)P，連接MP、AP，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N，交BE于H．

∵M是BD中點(diǎn)，

∴MP∥CD，CD＝2MP，

在Rt△DCE中，∵∠CDE＝60°，∠DCE＝90°，

∴∠DEC＝30°，

∴DE＝2CD．

根據(jù)勾股定理，得EC＝CD，

∴＝2，

∵AB＝AC，P是BC中點(diǎn)，

∴AP⊥BC，BC＝2BP，∠BAP＝∠CAP，

∵∠BAC＝120°，

∴∠BAP＝60°．

同理，BP＝AP，

∴＝2．

∴＝．

∵MP∥CD∴∠MPB＝∠BCD．

∵∠BPA＝∠DCE＝90°．

∴∠BPA﹣∠MPB＝∠DCE﹣∠BCD，

∴∠MPA＝∠ECB．

∴△APM∽△BCE．

∴＝＝2，即BE＝2AM．

∠PAM＝∠EBC．

∵∠PAM+∠ANP＝90°，∠ANP＝∠BNH，

∴∠EBC+∠BNH＝90°．

∴∠AHB＝90°．

∴AM⊥BE．

所以AM、BE之間的關(guān)系為：AM⊥BE，BE＝2AM．