Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是________．

Answer 1

【答案】4.5

【解析】

設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1 ， 此時(shí)垂線(xiàn)段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1 ， 求出OP1 ， 如圖當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2最大值=2.5+1.5=4，由此不難解決問(wèn)題．

如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時(shí)垂線(xiàn)段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1 ，

∵AB=5，AC=4，BC=3，

∴AB2=AC2+BC2 ，

∴∠C=90°，

∵∠OP1B=90°，

∴OP1∥AC

∵AO=OB，

∴P1C=P1B，

∴OP1= AC=2，

∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1=0.5，

如圖，當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，

P2Q2最大值=2.5+1.5=4，

∴PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是4.5．

故答案為：4.5．