Question

【題目】已知：如圖，△ABC中的頂點(diǎn)A、C分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)朝x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OB．

（1）點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí)，求OB的長；
（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，求OB的長；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，OB是否存在最大值？若存在，請你求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí)，OB=AB，

∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，

∴AB= = = ；

∴OB=

（2）

解：當(dāng)OA=OC時(shí)，如圖1，作BD⊥y軸于D，

∵AC=2，BC=1，

∵OA2+OC2=AC2，

∴OA=OC= ，

∵OA=OC，

∴∠ACO=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD=45°，

∴∠BCD=∠CBD，

∴DB=DC，

∵DC2+DB2=BC2，

∴DB=DC= ，

∴OD=OC+DC= + = ，

∴OB= = =

（3）

解：如圖2，作AC的中點(diǎn)D，連接OD、BD，

∵OB≤OD+BD，

∴當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)OB取得最大值，

∵BD= = = ，OD=AD= AC=1，

∴點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離為1+ ．

【解析】（1）根據(jù)題意AB的長就是OB的長，根據(jù)勾股定理求得AB的長即可；（2）作BD⊥y軸于D，根據(jù)勾股定理可得OC= ，DC=DB= ，最后根據(jù)勾股定理即可求得OB；（3）Rt△AOC的外接圓圓心是AC中點(diǎn)，設(shè)AC中點(diǎn)為D，根據(jù)三角形三邊關(guān)系有OB≤OD+BD=1+ ，即O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)OB取得最大值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個(gè)點(diǎn)，間距求法亦如此．平面任意兩個(gè)點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記才能正確解答此題．