Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】CN=MN+BM，見解析

【解析】

采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法，在CN上截取點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，結(jié)合等邊及等腰三角形的性質(zhì)利用SAS可證△MBD≌△ECD，繼而可證△MND≌△END，由全等的性質(zhì)可得結(jié)論.

解：CN=MN+BM．證明：

如圖，在CN上截取點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°．

又∵△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．

在△MBD和△ECD中，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．

∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．

又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，

∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．

∴∠MDN=∠EDN．

在△MND與△END中，

∴△MND≌△END（SAS）．

∴MN=NE．

∴CN=NE+CE=MN+BM．