Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∠ABO=30°，線段PQ的端點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿△OBA的邊按O→B→A→O運(yùn)動(dòng)一周，同時(shí)另一端點(diǎn)Q隨之在x軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，如果PQ= ，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1， ∴AB=2，BO= = ，
①當(dāng)點(diǎn)P從O→B時(shí)，如圖1、圖2所示，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為 ，

②如圖3所示，QC⊥AB，則∠ACQ=90°，即PQ運(yùn)動(dòng)到與AB垂直時(shí)，垂足為P，

當(dāng)點(diǎn)P從B→C時(shí)，
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°=
∴AQ= =2
∴OQ=2﹣1=1
則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為QO=1，
③當(dāng)點(diǎn)P從C→A時(shí)，如圖3所示，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為QQ′=2﹣ ，
④當(dāng)點(diǎn)P從A→O時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為AO=1，
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為： +1+2﹣ +1=4
故答案為：4
首先根據(jù)題意正確畫出從O→B→A運(yùn)動(dòng)一周的圖形，分四種情況進(jìn)行計(jì)算：①點(diǎn)P從O→B時(shí)，路程是線段PQ的長；②當(dāng)點(diǎn)P從B→C時(shí)（QC⊥AB，C為垂足），點(diǎn)Q從O運(yùn)動(dòng)到Q，計(jì)算OQ的長就是運(yùn)動(dòng)的路程；③點(diǎn)P從C→A時(shí)，點(diǎn)Q由Q向左運(yùn)動(dòng)，路程為QQ′；④點(diǎn)P從A→O時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程就是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程；最后相加即可．