【題目】已知正方形交于點,點在線段上,作直線交直線,過,設直線.

(1)如圖,當在線段上時,求證:

(2)如圖2,當在線段上,連接,當時,求證:;

(3)在圖3,當在線段上,連接,當時,求證:.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】1)先判斷出OD=OA,AOM=DON,再利用同角的余角相等判斷出∠ODN=OAM,判斷出△DON≌△AOM即可得出結論;

(2)先判斷出四邊形DENM是菱形,進而判斷出∠BDN=22.5°,即可判斷出∠AMB=67.5°,即可得出結論;

(3)設CE=a,進而表示出EN=CE=a,CN=a,設DE=b,進而表示AD=a+b,根據勾股定理得,AC=(a+b),同(1)的方法得,∠OAM=ODN,得出∠EDN=DAE,進而判斷出△DEN∽△ADE,得出,進而得出a=b,即可表示出CN=b,AC=b,AN=AC﹣CN=b,即可得出結論.

(1)∵正方形ABCD的對角線AC,BD相交于O,

OD=OA,AOM=DON=90°,

∴∠OND+ODN=90°,

∵∠ANH=OND,

∴∠ANH+ODN=90°,

DHAE,

∴∠DHM=90°,

∴∠ANH+OAM=90°,

∴∠ODN=OAM,

∴△DON≌△AOM,

OM=ON;

(2)連接MN,

ENBD,

∴∠ENC=DOC=90°,NEC=BDC=45°=ACD,

EN=CN,同(1)的方法得,OM=ON,

OD=OD,

DM=CN=EN,

ENDM,

∴四邊形DENM是平行四邊形,

DNAE,

DENM是菱形,

DE=EN,

∴∠EDN=END,

ENBD,

∴∠END=BDN,

∴∠EDN=BDN,

∵∠BDC=45°,

∴∠BDN=22.5°,

∵∠AHD=90°,

∴∠AMB=DME=90°﹣BDN=67.5°,

∵∠ABM=45°,

∴∠BAM=67.5°=AMB,

BM=AB;

(3)設CE=a(a>0)

ENCD,

∴∠CEN=90°,

∵∠ACD=45°,

∴∠CNE=45°=ACD,

EN=CE=a,

CN=a,

DE=b(b>0),

AD=CD=DE+CE=a+b,

根據勾股定理得,AC=AD=(a+b),

同(1)的方法得,∠OAM=ODN,

∵∠OAD=ODC=45°,

∴∠EDN=DAE,∵∠DEN=ADE=90°,

∴△DEN∽△ADE,

,

a=b(已舍去不符合題意的)

CN=a=b,AC=(a+b)=b,

AN=AC﹣CN=b,

AN2=2b2,ACCN=bb=2b2

AN2=ACCN.

練習冊系列答案
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