Question

已知：點(diǎn)A，B在函數(shù)y=-

1

x

圖象上，AB=2AO，AP∥x軸，BP∥y軸，AP，BP交于點(diǎn)P，BP交x軸與點(diǎn)F，AE⊥x軸于點(diǎn)E，交OP與點(diǎn)Q，連接QB，設(shè)OE=a，OF=b
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用a，b的代數(shù)式表示）；
（2）求證：四邊形APBQ是矩形；
（3）求證：∠AOP=2∠POF．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，可以直接得出，將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可得出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，也即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
（2）先求出PB，根據(jù)△OEQ∽△PAQ，求出AQ，判斷出BP=QA，這樣可判斷出四邊形APBQ為平行四邊形，結(jié)合AP⊥BP可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ACO=2∠POF，然后判斷出AO=AC，根據(jù)∠AOP=∠ACO，可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意得，P_橫=b，A_橫=a，
∵AP∥x軸，BP∥y軸，AE⊥x軸，
∴四邊形APFE為矩形，
∴A_縱=P_縱，
將A_橫=a代入y=-

1

x

，可得A_縱=-

1

a

，
故可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，-

1

a

）；
（2）由題意可得，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，-

1

b

），
則BF=

1

b

，
∵△OEQ∽△PAQ，
∴

EQ

QA

=

OE

PA

=

a

b-a

，
又∵EQ+QA=AE=

1

a

，
∴解得：EQ=

1

b

，
∴AQ=BP，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∵∠APE=90°，
∴四邊形APBQ是矩形．
（3）

∵AP∥x軸，
∴∠POF=∠CPA，
∵CA=CP，
∴∠CAP=∠CPA，
∴∠AC0=2∠CPA，
又∵AB=2AO，
∴AO=AC，
∴∠AOP=∠ACO=2∠CPA=2∠POF．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及了矩形的判定、點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)化、三角形的外角，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵之處在于判斷四邊形APBQ為矩形，需要我們結(jié)合坐標(biāo)確定AQ=PB，難度較大．