Question

已知：如圖①，在中，，，，點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻
速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（），解答下列問題：
（1）當(dāng)為何值時(shí)，？
（2）設(shè)的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻，使線段恰好把的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）如圖②，連接，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時(shí)刻，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在；（4），

解析試題分析：（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，可得出三角形APQ和三角形ABC相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果；
（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據(jù)Q的速度和時(shí)間t表示出來(lái)．關(guān)鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來(lái)求．AP的長(zhǎng)可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．
（3）如果將三角形ABC的周長(zhǎng)和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長(zhǎng)，那么可以求出此時(shí)t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關(guān)系式中，求出此時(shí)面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時(shí)刻．
（4）我們可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個(gè)矩形，解題思路：通過(guò)三角形BPN和三角形ABC相似，得出關(guān)于BP，PN，AB，AC的比例關(guān)系，即可用t表示出PN的長(zhǎng)，也就表示出了MC的長(zhǎng)，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長(zhǎng)，就可以根據(jù)AC=AQ+QM+MC來(lái)求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的長(zhǎng)，也就能求出菱形的邊長(zhǎng)了．
（1）在Rt△ABC中，，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
，

解得，
所以當(dāng)時(shí)，PQ∥BC；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，

∵△APH∽△ABC，
，

，
；
（3）若PQ把△ABC周長(zhǎng)平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ，
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1，
若PQ把△ABC面積平分，則，即，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．
（4）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，

若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC，
，
，
解得，

解得，
當(dāng)時(shí)，四邊形PQP'C是菱形．
此時(shí)，，
在Rt△PMC中，，
∴菱形PQP′C邊長(zhǎng)為
考點(diǎn)：本題考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，找到相似的三角形，靈活運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)。