Question

在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點．

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；
（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標．
（溫馨提示：可以作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E，此時△CDE的周長是最小的．這樣，你只需求出OE的長，就可以確定點E的坐標了．）

Answer 1

（1）如圖，作點D關于x軸的對稱點D'，連接CD'與x軸交于點E，連接DE．
若在邊OA上任取點E'與點E不重合，連接CE'、DE'、D'E'
由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，
可知△CDE的周長最�。�
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點，
∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，有

OE

BC

=

D′O

D′B

∴OE=

D′O•BC

D′B

=

2×3

6

=1
∴點E的坐標為（1，0）；

（2）如圖，作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=2，連接D'G與x軸交于點E，在EA上截取EF=2，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF，
又DC、EF的長為定值，
∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最�。�
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，有

OE

BG

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BG

D′B

=

D′O•(BC-CG)

D′B

=

2×1

6

=

1

3

∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

∴點E的坐標為（

1

3

，0），點F的坐標為（

7

3

，0）（10分）