Question

【題目】頂點為（﹣ ，﹣ ）的拋物線與y軸交于點A（0，﹣4），E（0，b）（b＞﹣4）為y軸上一動點，過點E的直線y=x+b與拋物線交于B、C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①如圖1，當b=0時，求證：E是線段BC的中點；
②當b≠0時，E還是線段BC的中點嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：據題意可設拋物線的解析式為y=a（x+ ）2﹣ ．

把x=0，y=﹣4代入，得﹣4=a（0+ ）2﹣ ，

解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x+ ）2﹣ =x2+x﹣4．

（2）

①證明：分別過點B、C作BM⊥y軸于點M，CN⊥y軸于點N．（如圖1）

當b=0時，直線BC為y=x，此時點E與點O重合．

由方程組 ，

得 ， ．

則B、C的坐標分別為（2，2）、（﹣2，﹣2），

即BM=CN=2．

又BM⊥y軸，CN⊥y軸，

∴BM∥CN，

∴△BME∽△CNE，

即BE：CE=BM：CN，

故BE=CE．

②解：E還是線段BC的中點．理由如下：

如圖2，分別過點B、C作BP⊥y軸于點P，CQ⊥y軸于點Q．

由方程組 ，

得 ， ．

則B、C的坐標分別為（ ， +b），（﹣ ，﹣ +b），

即BP=CQ= ．

同樣可得△BPE∽△CQE，

即BE：CE=BP：CQ，

故BE=CE

【解析】（1）因為知道拋物線的頂點坐標，所以可設拋物線的解析式為：y=a（x+ x）2﹣ ，把A點的坐標代入求出a的值即可求出拋物線的解析式；（2）①分別過點B、C作BM⊥y軸于點M，CN⊥y軸于點N，當b=0時，直線BC為y=x，此時點E與點O重合，聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求出B，C點的坐標，進而得到BM=CN=2，再通過證明△BME∽△CNE，由相似三角形的性質可得：BE：CE=BM：CN，故BE=CE；②當b≠0時，E還是線段BC的中點，分別過點B、C作BP⊥y軸于點P，CQ⊥y軸于點Q，其他過程同①．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的性質的相關知識點，需要掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．