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【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,∠CDB=2∠ABD,∠ABC=105°,∠A=∠C=45°.

(1)求∠ABD;
(2)求證:CD=AB;
(3)如圖2,過點C作CF⊥BD于點E,交AB于點F,若AB=3 , 則BF+BE等于多少?

【答案】解:(1)∵∠ABC=105°,∠A=∠C=45°,
∴∠ADC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°,
設∠ABD=y,則∠CDB=2y,∠ADB=180°﹣45°﹣y=135°﹣y,
∴135°﹣y+2y=165°,
解得:y=30°,
即∠ABD=30°;
(2)證明:作DM⊥AB于E,BN⊥CD于F,如圖所示:
設DN=x,
∵BN⊥CD,∠C=45°,
∴∠CBN=∠C=45°,
∴△BCN是等腰直角三角形,
∴CN=BN,
∵∠CDB=2×30°=60°,
∴∠DBN=30°,
∴BD=2DN=2x,
∴BN=CN=x,
∴CD=x+x,
∵DM⊥AB,
∴DM=BD=x,BM=DM=x,
∵∠A=45°,
∴△ADM是等腰直角三角形,
∴AM=DM=x,
∴AB=AM+BM=x+x,
∴CD=AB;
(3)解:由(2)得:CD=AB=3,x+x=3
解得:x=,
∴BD=9﹣3,
∵CF⊥BD,
∴∠DCE=90°﹣60°=30°,
∴DE=CD=
∴BE=BD﹣DE=9﹣,
∵∠ABD=30°,
∴BF==6﹣9,
∴BF+BE=6﹣9+9﹣=;
【解析】(1)由四邊形內角和定理求出∠ADC=165°,設∠ABD=y,則∠CDB=2y,∠ADB=135°﹣y,得出方程135°﹣y+2y=165°,解方程即可;
(2)作DM⊥AB于E,BN⊥CD于F,設DN=x,證出△BCN是等腰直角三角形,得出CN=BN,求出∠DBN=30°,由含30°角的直角三角形的性質得出BD=2DN=2x,求出BN=CN=x,得出CD=x+x,同理得出AB=AM+BM=x+x,即可得出結果CD=AB;
(3)由(2)得:x+x=3 , 求出x= , 得出BD=9﹣3 , 由含30°角的直角三角形的性質得出DE=CD= , 得出BE=BD﹣DE=9﹣ , 由三角函數求出BF=6﹣9,即可得出結果.

練習冊系列答案
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(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點M,使得BM=2DE,連接ME
①求證:ME⊥BC;
②求∠EMC的度數.

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