Question

已知：如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點(diǎn)（異于A、B），過(guò)點(diǎn)P作半圓O的切線分別交過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線于D、C，連接OC、BP，過(guò)點(diǎn)O作OM∥CD分別交BC與BP于點(diǎn)M、N．下列結(jié)論：
①S_{四邊形ABCD}=

1

2

AB•CD；
②AD=AB；
③AD=ON；
④AB為過(guò)O、C、D三點(diǎn)的圓的切線．
其中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

連接OD、AP，
∵DA、DP、BC分別是圓的切線，切點(diǎn)分別是A、P、B，
∴DA=DP，CP=CB，∠A=90°=∠B=∠DPO，
∴AD+BC=DP+CP=CD，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

AB•CD，∴①正確；
∵AD=DP＜OD＜AB，∴②錯(cuò)誤；
∵AB是圓的直徑，
∴∠APB=90°，
∵DP=AD，AO=OP，
∴D、O在AP的垂直平分線上，
∴OD⊥AP，
∵∠DPO=∠APB=90°，
∴∠OPB=∠DPA=∠DOP，
∵OM∥CD，
∴∠POM=∠DPO=90°，
在△DPO和△NOP中
∠PON=∠DPO，OP=OP，∠DOP=∠OPN，
∴△DPO≌△NOP，
∴ON=DP=AD，∴③正確；
∵AP⊥OD，OA=OP，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠BOC=∠POC，
∴∠DOC=

1

2

×180°=90°，
∴△CDO的外接圓的直徑是CD，
∵∠A=∠B=90°，
取CD的中點(diǎn)Q，連接OQ，
∵OA=OB，
∴AD∥OQ∥BC，
∴∠AOQ=90°，
∴④正確．
故選C．