Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，△ABC的外角平分線BD交⊙O于D，DE與⊙O相切，交CB的延長(zhǎng)線于E．
（1）判斷直線AC和DE是否平行，并說(shuō)明理由；
（2）若∠A=30°，BE=1cm，分別求線段DE和

BD

的長(zhǎng)（直接寫出最后結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）平行．連接OD，∵DE與⊙O相切，得出OD⊥DE．根據(jù)BD是∠ABE的平分線，推出∠ODB=∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根據(jù)AB是⊙O的直徑，得到AC⊥CE，即可推出答案；
（2）由∠A=30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠DBE，即可求出DE，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出弧BD的長(zhǎng)．

解答：（1）答：直線AC和DE平行．
理由是：
連接OD，∵DE與⊙O相切，
∴OD⊥DE．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD是∠ABE的平分線，
即∠ABD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥BE．
∴BE⊥DE，即DE⊥CE，
∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，
∴AC⊥CE，
∴AC∥DE．

（2）答：線段DE的長(zhǎng)是

3

，

BD

的長(zhǎng)是

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)切線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線，平行線的判定，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是證此題的關(guān)鍵．