Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于點D，CD交AE于點F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．

(1)求證：CG是⊙O的切線．

(2)求證：AF=CF．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）連結(jié)OC，由C是劣弧AE的中點，根據(jù)垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)AC、BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；

解：(1)證明：連結(jié)OC，如圖，

∵C是劣弧AE的中點，∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切線；

(2)證明：連結(jié)AC、BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠BCD=90°，

而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠2，

∵AC弧=CE弧，

∴∠1=∠B，

∴∠1=∠2，

∴AF=CF；(也可由OA=OC直接證)