【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BD,CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B,C的切線,且∠BDC=120°,連接AC.

(1)求∠A的度數(shù);
(2)若點(diǎn)D到BC的距離為2,那么⊙O的半徑是多少?

【答案】
(1)解:連接OC,

∵BD,CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B,C的切線,

∴OC⊥CD,OB⊥BD,

∴∠OCD=∠OBD=90°,

∵∠BDC=120°,

∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=60°,

∴∠A= ∠BOC=30°


(2)解:∵BD,CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B,C的切線,

∴DC=DB,

∴∠DCB=∠DBC= (180°﹣120°)=30°,

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,則DE=2,

∵∠DBC=30°,

∴BD=2DE=4,

在直角△DEB中,

∴BC=2BE= ,

由(1)可知△OBC為等邊三角形,

∴OB=BC= ,

∴⊙O的半徑是


【解析】(1)首先連接OC,由BD,CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B,C的切線,可求得∠BOC的度數(shù),然后由圓周角定理,求得答案;(2)首先求得∠DCB與∠DBC的度數(shù),然后過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,則DE=2,即可求得BE的長(zhǎng),繼而求得BC的長(zhǎng),然后由(1)可知△OBC為等邊三角形,即可求得答案.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解垂徑定理的相關(guān)知識(shí),掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧,以及對(duì)切線的性質(zhì)定理的理解,了解切線的性質(zhì):1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

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【題目】如圖,在直角△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),以AB為直徑作⊙O分別交AC,BM于點(diǎn)D,E.

(1)求證:MD=ME;
(2)填空:連接OE,OD,當(dāng)∠A的度數(shù)為時(shí),四邊形ODME是菱形.

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