如圖，已知過A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點P從O點出發(fā)，沿OM作勻速運動，1分鐘可到達M點，點Q從M點出發(fā)，沿MA作勻速運動，1分鐘可到達A點．
（1）經(jīng)過多少時間，線段PQ的長度為2？
（2）寫出線段PQ長度的平方y(tǒng)與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；
（3）是否存在時間t，使P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似？若存在，求出此時間t；若不可能，請說明理由．
分析：（1）先由題意求出P、Q兩點移動的速度，再設(shè)經(jīng)過t分鐘，線段PQ的長度為2，用y表示出PM及QM的長，由勾股定理即可求出t的值；
（2）由（1）中PM及QM的長度即可得出線段PQ長度的平方，y與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；
（3）由于兩相似三角形的對應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論．
解答：解：∵A（2，4），
∴OM=2，AM=4，
∵點P從O點出發(fā)，沿OM作勻速運動，1分鐘可到達M點，點Q從M點出發(fā)，沿MA作勻速運動，1分鐘可到達A點，
∴點P的速度度2，點Q速度的4，
（1）設(shè)經(jīng)過t分鐘線段PQ的長度是2，則PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，
∵PQ2=PM2+QM2，即22=（2-2t）2+（4t）2，解得t=0（分）或t=0.4（分）．
答：當(dāng)t=0或t=0.4時，線段PQ的長度為2；

（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，PQ2=PM2+QM2，即y=（2-2t）2+（4t）2，
整理得，y=20t2-8t+4（0≤t≤1）；

（3）存在．
∵A（2，4），
∴N（0，4），M（2，0），
∴ON=4，OM=2，
當(dāng)△MON∽△PMQ時，
OM
MP
=
ON
MQ
，即
2
2-2t
=
4
4t
，解得t=0.5；
當(dāng)△MON∽△QMP時，
OM
MQ
=
ON
MP
，即
2
4t
=
4
2-2t
，解得t=0.2．
故當(dāng)t=0.5分或t=0.2分時P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意用t表示出PM及QM的長度是解答此題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知過點（
3
2
，-
7
4
）的直線y=kx+b與x軸、y軸的交點分別為A、B，且經(jīng)過第一、三、四象限，它與拋物線y=x2-4x+3只有一個公共點．
（1）求k的值；
（2）設(shè)拋物線的頂點為P，求點P到直線AB的距離d．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、如圖，已知過△ABC的頂點A，在∠BAC內(nèi)部任意作一條射線，過B、C分別作此射線的垂線段BD、CE，M為BC邊中點．求證：MD=ME．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知過A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點P從O點出發(fā)，沿OM作勻速運動，1分鐘可到達M點，點Q從M點出發(fā)，沿MA作勻速運動，1分鐘可到達A點．
（1）經(jīng)過多少時間，線段PQ的長度為2？
（2）寫出線段PQ長度的平方y(tǒng)與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；
（3）在P、Q運動過程中，是否可能出現(xiàn)PQ⊥MN？若有可能，求出此時間t；若不可能，請說明理由；
（4）是否存在時間t，使P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似？若存在，求出此時間t；若不可能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知過坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過A（x1，0），B（x2，3）兩點，且x1、x2是方程x2+5x+6=0兩根（x1＞x2），拋物線頂點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點E的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線上的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P使得以點P、M、O為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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