Question

如圖，已知過點(diǎn)（

3

2

，-

7

4

）的直線y=kx+b與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且經(jīng)過第一、三、四象限，它與拋物線y=x²-4x+3只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，求點(diǎn)P到直線AB的距離d．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)（

3

2

，一

7

4

）在直線y=kx+b上，則此點(diǎn)坐標(biāo)滿足該一次函數(shù)解析式，將其代入即可求出k、b的關(guān)系式；用k代替b后，聯(lián)立拋物線的解析式，可得關(guān)于x的一元二次方程，由于兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么方程的根的判別式△=0，可據(jù)此求出k的值．
（2）根據(jù)k的值，可確定直線的解析式，進(jìn)而可求出A、B的坐標(biāo)，也就能得到△OAB的面積；可連接OP、AP、BP，將△AOB分成△OPA、△OPB、△APB三部分，P點(diǎn)坐標(biāo)易求得，即可得到△OPA和△OPB的面積，用d表示出△APB的面積，根據(jù)上面所得四個(gè)三角形的面積關(guān)系式，即可求出d的值．

解答：解：（1）∵直線過點(diǎn)（

3

2

，-

7

4

），
∴-

7

4

=

3

2

k+b，
即b=-

7

4

-

3

2

k；
∴y=kx-

3

2

k-

7

4

，
由

y=kx- 3 2 k- 7 4 y=x2-4x+3

消去y，得：
x²-（4+k）x+（

3

2

k+

19

4

）=0，
∵直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=（4+k）²-4（

3

2

k+

19

4

）=0，
解得：k=1或k=-3；
∵直線過第一、三、四象限，
∴k＞0，
即k=1．

（2）由k=1，知直線AB的解析式為y=x-

13

4

；
令y=0，得x=

13

4

；
令x=0，得y=-

13

4

；
∴A（

13

4

，0），B（0，-

13

4

），
∴AB=

OA2+OB2

=

13 2

4

；
連接PO、PA、PB，易知拋物線頂點(diǎn)P（2，-1），
由S_△APO+S_△BPO+S_△APB=S_△ABO，得：

1

2

OA•1+

1

2

OB•2+

1

2

AB•d=

1

2

OA•OB，
∴d=

OA•OB-OA-2OB

AB

=

2

8

，
∴點(diǎn)P到直線AB的距離為

2

8

．

點(diǎn)評：此題考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)、根的判別式以及圖形面積的求法等，難度適中．