【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A(6,0),與y軸交于點(diǎn)B,與直線y=2x交于點(diǎn)C(a,4).
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式;
(2)如圖2,在(1)的條件下,過點(diǎn)E作直線l⊥x軸于點(diǎn)E,交直線y=2x于點(diǎn)F,交直線y=kx+b于點(diǎn)G,若點(diǎn)E的坐標(biāo)是(4,0).
①求△CGF的面積;
②直線l上是否存在點(diǎn)P,使OP+BP的值最?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)若(2)中的點(diǎn)E是x軸上的一個動點(diǎn),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m(m>0),當(dāng)點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動時,探究下列問題:
當(dāng)m取何值時,直線l上存在點(diǎn)Q,使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等?請直接寫出相應(yīng)的m的值.
【答案】(1)y=﹣x+6;(2)①6;②P(4,3);(3)A題:m的值為2或6或8.B題:m的值為3或6或或.
【解析】
(1)將C(2,4)和A(6,0)代入y=kx+b,即可得到直線AB的解析式;
(2)①設(shè)點(diǎn)F(4,y1),G(4,y2),分別代入y=2x和y=-x+6,可得FE=8,GE=2,F(xiàn)G=6,過點(diǎn)C作CH⊥FG于H,依據(jù)S△FCG=FG×CH,進(jìn)行計算即可;②設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為D(8,0),設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,將B(0,6),D(8,0)代入y=mx+n,可得直線BD的解析式為y=-x+6,令x=4,則y=3,即可得出P(4,3);
(3)選A題時,需要分?jǐn)?shù)軸情況進(jìn)行討論,畫出圖形,依據(jù)全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)的位置,即可得到m的值;選B題時,依據(jù)△BFG是等腰三角形分四種情況進(jìn)行討論,進(jìn)而得出m的值.
(1)將點(diǎn)C(a,4)代入y=2x,可得a=2,
∴C(2,4),
將C(2,4)和A(6,0)代入y=kx+b,可得
,解得,
∴直線AB的解析式為y=﹣x+6;
(2)①如圖1,∵l⊥x軸,點(diǎn)E,F(xiàn),G都在直線l上,且點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0),
∴點(diǎn)F,G的橫坐標(biāo)均為4,
設(shè)點(diǎn)F(4,y1),G(4,y2),分別代入y=2x和y=﹣x+6,可得
y1=8,y2=2,
∴F(4,8),G(4,2),
∴FE=8,GE=2,F(xiàn)G=6,
如圖2,過點(diǎn)C作CH⊥FG于H,
∵C(2,4),
∴CH=4﹣2=2,
∴S△FCG=FG×CH=×6×2=6;
②存在點(diǎn)P(4,3),使得BP+OP的值最。
理由:設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為D(8,0),
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,
將B(0,6),D(8,0)代入y=mx+n,可得
,解得,
∴直線BD的解析式為y=﹣x+6,
點(diǎn)P在直線l:x=4上,令x=4,則y=3,
∴P(4,3);
(3)A題:m的值為2或6或8.
理由:分三種情況討論:
①當(dāng)△OAC≌△QCA,點(diǎn)Q在第四象限時,∠ECA=∠EAC,
∴AE=CE=4,OE=6﹣4=2,
∴m=2;
②當(dāng)△ACO≌△ACQ,Q在第一象限時,OE=AO=6,
∴m=6;
③當(dāng)△ACO≌△CAQ,點(diǎn)Q在第四象限時,四邊形AOCQ是平行四邊形,CQ=AO=6,AE=2,
∴OE=8,
∴m=8;
B題:m的值為3或6或或.
理由:分四種情況討論:
①如圖,當(dāng)BG=GF時, m=﹣m+6﹣2m,
解得m=;
②如圖,當(dāng)BF=GF時,m=2m﹣(﹣m+6),
解得m=3;
③如圖,當(dāng)GB=GF時,m=2m﹣(﹣m+6),
解得m=;
④如圖,當(dāng)BG=BF時,FG=BG,即2m﹣(﹣m+6)=×m,
解得m=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等腰三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,已知點(diǎn)A(﹣6,0),點(diǎn)B在原點(diǎn),CA=CB=5,把等腰三角形ABC沿x軸正半軸作無滑動順時針翻轉(zhuǎn),第一次翻轉(zhuǎn)到位置①,第二次翻轉(zhuǎn)到位置②…依此規(guī)律,第15次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是 .
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【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),B(0,4).
(1)求此函數(shù)的解析式.
(2)求原點(diǎn)到直線AB的距離.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,DE平分∠ADC交AB于點(diǎn)E,BF平分∠ABC,交CD于點(diǎn)F.
(1)求證:DE=BF;
(2)連接EF,寫出圖中所有的全等三角形.(不要求證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等腰△ABC中,∠ACB=90°,且AC=1.過點(diǎn)C作直線l∥AB,P為直線l上一點(diǎn),且AP=AB.則點(diǎn)P到BC所在直線的距離是( )
A.1
B.1或
C.1或
D. 或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3(a,b是常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣3,0)和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.動直線y=t(t為常數(shù))與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q.
(1)求a和b的值;
(2)求t的取值范圍;
(3)若∠PCQ=90°,求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm , 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB方向以每秒 cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動;同時,動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動,將△PQC沿BC翻折,點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時間為t秒,若四邊形QPCP′為菱形,則t的值為( ).
A.
B.2
C.2
D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列4組條件中,能判定△ABC∽△DEF的是( )
A.AB=5,BC=4,∠A=45°;DE=10,EF=8,∠D=45°
B.∠A=45°,∠B=55°;∠D=45°,∠F=75°
C.BC=4,AC=6,AB=9;DE=18,EF=8,DF=12
D.AB=6,BC=5,∠B=40°;DE=5,EF=4,∠E=40°
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