Question

如圖，在射線OM上有三點A、B、C，滿足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如圖所示），點P從點O出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度勻速運動，點Q從點C出發(fā)在線段CO上向點O勻速運動（點Q運動到點O時停止運動），兩點同時出發(fā)．
（1）當(dāng)PA=2PB時，點Q運動到的位置恰好是線段AB的三等分點，求點Q的運動速度．
（2）若點Q運動速度為3cm/s，經(jīng)過多長時間P、Q兩點相距70cm．
（3）當(dāng)點P運動到線段AB上時，分別取OP和AB的中點E、F，求

OB-AP

EF

的值．

Answer 1

分析：此題較為復(fù)雜，但仔細閱讀，讀懂題意根據(jù)速度公式就可求解．
（1）從題中我們可以看出點P及Q是運動的，不是靜止的，當(dāng)PA=2PB時實際上是P正好到了AB的三等分點上，而且PA=40，PB=20．由速度公式就可求出它的運動時間，即是點Q的運動時間，點Q運動到的位置恰好是線段AB的三等分點，這里的三等分點是二個點，因此此題就有二種情況，分別是AQ=

AB

3

時，BQ=

AB

3

時，由此就可求出它的速度．
（2）若點Q運動速度為3cm/s，經(jīng)過多長時間P、Q兩點相距70cm，這也有兩種情況即當(dāng)它們相向而行時，和它們直背而行時，此題可設(shè)運動時間為t秒，按速度公式就可解了．
（3）此題就可把它當(dāng)成一個靜止的線段問題來解決了，但必須借助圖形．

解答：解：（1）①當(dāng)P在線段AB上時，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故點P運動時間為60秒．
若AQ=

AB

3

時，BQ=40，CQ=50，點Q的運動速度為50÷60=

5

6

（cm/s）；
若BQ=

AB

3

時，BQ=20，CQ=30，點Q的運動速度為30÷60=

1

2

（cm/s）．
②點P在線段AB延長線上時，由PA=2PB及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故點P運動時間為140秒．
若AQ=

AB

3

時，BQ=40，CQ=50，點Q的運動速度為50÷140=

5

14

（cm/s）；
若BQ=

AB

3

時，BQ=20，CQ=30，點Q的運動速度為30÷140=

3

14

（cm/s）．

（2）設(shè)運動時間為t秒，則t+3t=90±70，t=5或40，
∵點Q運動到O點時停止運動，
∴點Q最多運動30秒，當(dāng)點Q運動30秒到點O時PQ=OP=30cm，之后點P繼續(xù)運動40秒，則
PQ=OP=70cm，此時t=70秒，
故經(jīng)過5秒或70秒兩點相距70cm；

（3）如圖1，設(shè)OP=xcm，點P在線段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，
EF=OF-OE=（OA+

1

2

AB）-OE=（20+30）-

x

2

=50-

x

2

，
∴

OB-AP

EF

=

100-X

50- X 2

=2．

如圖2，設(shè)OP=xcm，點P在線段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，
EF=OF-OE=（OA+

1

2

AB）-OE=（20+30）-

x

2

=50-

x

2

，
∴

OB-AP

EF

=

100-X

50- X 2

=2．

點評：做這類題時學(xué)生一定要認真仔細地閱讀，利用已知條件求出未知值．學(xué)生平時就要培養(yǎng)自己的思維能力．而且要圖形結(jié)合，與生活實際聯(lián)系起來，也可以把此題當(dāng)成一道路程題來對待．