Question

（1）如圖1，小明畫了一個(gè)角∠MON=80°，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動(dòng)，△AOB的角平分線AC和BD交于點(diǎn)P，小明通過測量，發(fā)現(xiàn)不論怎樣變換點(diǎn)A、B的位置，∠APB的度數(shù)不發(fā)生改變，一直都是130°，請你解釋其中的原因．

（2）小明想明白后，又開始考慮圖2中的問題：△AOB的內(nèi)角平分線AC和外角平分線BD所構(gòu)成的∠C是不是也與∠AOB有特?cái)?shù)的關(guān)系呢？如果∠AOB=n°，那么∠C是多少度呢？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理，即可證明∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA），即可求解；
（2）根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)，即可證明∠C=

1

2

（∠ABY-∠BAC），從而求解．

解答：解：（1）∵△ABC的角平分線AC與BD交于點(diǎn)P，
∴∠PAB=

1

2

∠BAO，∠PBA=

1

2

∠ABO，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

∠BAO+

1

2

∠ABO=

1

2

（∠BAO+∠ABO），
∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（180°-∠AOB）=

1

2

×100°=50°，
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=180°-50°=130°．

（2）∠C=

1

2

n°．
∵AC是△AOB的角平分線，BD是外角平分線，
∴∠BAC=

1

2

∠BAO，∠DBA=

1

2

∠ABY，
∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∠DBA+∠ABC=180°，
∴∠DBA=∠C+∠BAC，
∴∠C=∠DBA-∠BAC=

1

2

∠ABY-

1

2

∠BAC=

1

2

（∠ABY-∠BAO），
又∵∠AOB+∠BAO+∠ABO=180°，∠ABY+∠ABO=180°，
∴∠ABY=∠AOB+∠BA0，
∴∠C=

1

2

（∠ABY-∠BAC）=

1

2

∠AOB=

1

2

n°．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)定理：三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．