如圖1,正方形ABCD中,有一直徑為BC=2cm 的半圓O.兩點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)的B時(shí)間為t(s),其中1≤t<2.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),線段EF和BC平行?
(2)EF能否與半圓O相切?如果能,求出t的值;如果不能,請說明原因.
(3)如圖2,設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,也請說明理由,并求AP:PC的值.
變式:如圖3,若將上題改為,正方形ABCD中,有一直徑為BC=2cm的半圓O.點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)E與圓O相切的直線交CD所在直線為點(diǎn)F,設(shè)EB=x,F(xiàn)D=y.
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(2)是否存在切線EF,把正方形ABCD的周長分成相等的兩部分?若存在,求出x的值.若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)線段EF和BC平行時(shí),AE=DF,2-t=2t-2,解方程就可以求出其t值.
(2)當(dāng)EF與半圓O相切時(shí),根據(jù)切線的性質(zhì),作輔助線如圖,利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)就可以求出其t的值.
(3)當(dāng)1≤t<2時(shí),△AEP∽△CFP,就可以求出點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化AP:PC=AE:CF,而AE:CF是個(gè)定值為
變式(1),當(dāng)F點(diǎn)在CD的延長線上在Rt△EHF中;當(dāng)E點(diǎn)重合于D點(diǎn)時(shí),在Rt△EHD中;當(dāng)F點(diǎn)在DC上,在Rt△EHF中;運(yùn)用切線的性質(zhì)及勾股定理建立等量關(guān)系就可以求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)假設(shè)EF把正方形周長分成相等兩部分,即EA+AD+DF=EB+BC+CF,從而得出2-x+2+y=x+2+2-y,可以求出x與y的關(guān)系,代入圖3的解析式就可以求出其值.
解答:解:(1)如圖1,設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t s時(shí),有EF和BC平行.
則BE=t,DF=2t-2.
∴t=4-2t.
解得t=
∴當(dāng)t=s時(shí),線段EF和BC平行.

(2)設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),EF與半圓相切.
作OM⊥EF于點(diǎn)M,ON∥CF交EF于點(diǎn)N,KF∥BC交AB于點(diǎn)K,如圖2.則
OM=1,BE=t,CF=4-2t,EK=t-(4-2t)=3t-4,ON=[t+(4-2t)]=2-t.
在Rt△OMN中,MN2=ON2-OM2=4t2-8t+3.
∵△OMN∽△FKE,∴,
將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式并整理,得2t2-4t+1=0
解得t=
∵1<t<2,∴t=
∴當(dāng)t=s時(shí),線段EF與半圓相切.

(3)當(dāng)1≤t<2時(shí),點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化.
證明:設(shè)1≤t<2時(shí),E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),EF位置如圖
則BE=t,AE=2-t,CF=4-2t

又∵AB∥DC∴△AEP∽△CFP
,即點(diǎn)P的位置與t的取值無關(guān).
∴當(dāng)1≤t<2時(shí),點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化,且AP:PC的值為
變式題答案:

(1)如圖(1),當(dāng)F點(diǎn)在CD的延長線上,過E作EH⊥DC,交DC于F點(diǎn),易證EB=EM=x,MF=FC=FD+DC=y+2,
在Rt△EHF中,由勾股定理得EH2+FH2=EF2,
即22+(y+2-x)2=(x+2+y)2,
整理得xy+2x-1=0,

∵1-2x>0

∴點(diǎn)F在DC上的函數(shù)關(guān)系式為
如圖(2),當(dāng)E點(diǎn)重合于D點(diǎn)時(shí),即FD=y=0,易求出EM=EB=HC=x,DM=DC=2,
∴DH=DC-HC=2-x,
即在Rt△EHD中,ED2=EH2+HD2,
∴(x+2)2=22+(2-x)2,
解得,
如圖(3),當(dāng)F點(diǎn)在DC上,在Rt△EHF中,
由勾股定理得EH2+FH2=EF2,
即22+(y-2+x)2=(x+2-y)2,
整理得xy=2x-1,
,
∵2x-1>0,
,
∴點(diǎn)F在DC上的函數(shù)關(guān)系式為);

(2)如圖(3),假設(shè)EF把正方形周長分成相等兩部分,即EA+AD+DF=EB+BC+CF,
∴2-x+2+y=x+2+2-y整理得x=y
由上面可知,=x,解得x=1,
∴存在切線EF,把正方形的周長分成相等的兩部分,此時(shí)x=1.
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),直線與圓的位置的關(guān)系,圓的切線的性質(zhì),勾股定理的運(yùn)用.
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垂直
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等
相等

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