Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD＝6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根，且OA＞OB．

（1）求的值．

（2）若E為x軸上的點(diǎn)，且S△AOE＝，求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？

（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝x﹣或y＝x+，△AOE∽△DAO；（3）存在，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．

【解析】

（1）解一元二次方程求出OA，OB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，再代入計(jì)算即可；

（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．

解：（1）x2﹣7x+12＝0，

（x﹣3）（x﹣4）＝0，

∴x﹣3＝0，x﹣4＝0，

解得x1＝3，x2＝4，

∵OA＞OB，

∴OA＝4，OB＝3，

在△AOB中，AB＝＝＝5，

∴sin∠ABC＝；

（2）根據(jù)題意，設(shè)E（x，0），則

S△AOE＝×OA×x＝×4x＝，

解得x＝，

∴E（，0）或（﹣，0），

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，4），

設(shè)經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線的解析式為y＝kx+b，

則①，

解得 ，

∴解析式為y＝x﹣；

②，

解得，

解析式為： y＝x+

在△AOE與△DAO中， ，

，

∴，

又∵∠AOE＝∠OAD＝90°，

∴△AOE∽△DAO；

（3）根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，OB＝OC＝3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF＝AC＝5，

所以點(diǎn)F與B重合，

即F（﹣3，0），

②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，

點(diǎn)F（3，8）．

③AC是對(duì)角線時(shí)，做AC垂直平分線L，AC解析式為y＝﹣x+4，直線L過(guò)（，2），且k值為（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1），

L解析式為y＝x+，聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，

∴F（﹣，﹣），

④AF是對(duì)角線時(shí)，過(guò)C做AB垂線，垂足為N，根據(jù)等積法求出CN＝，勾股定理得出，AN＝，做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F，AF＝，過(guò)F做y軸垂線，垂足為G，FG＝，

∴F（﹣，）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．