Question

已知反比例函數(shù)y1=

k

x

的圖象與一次函數(shù)y₂=kx+m的圖象相交于A（2，1）．
（1）分別求出這兩個函數(shù)的解析式，并在同一坐標系內畫出它們的大致圖象；
（2）試判斷P（-1，5）關于x軸的對稱點Q是否在一次函數(shù)y₂=kx+m的圖象上，若在請求出S_△APQ；若不在，請求出直線AQ的解析式；
（3）若一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的另一個交點為B，且B點的縱坐標為-4，請根據(jù)圖象回答：①當x取何值時，y₁＞y₂；②當x取何值時，y₁•y₂＞0．

Answer 1

分析：（1）把A（2，1）代入反比例函數(shù)y1=

k

x

與一次函數(shù)y₂=kx+m的解析式即可求出k、m的值，可得到解析式，再畫出函數(shù)圖象即可；
（2）首先根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特點寫出Q點的坐標，再根據(jù)解析式計算當x=-1時，y的值，即可判斷出Q點是否在一次函數(shù)圖象上；根據(jù)P、Q、A點坐標可算出△APQ的面積；
（3）首先計算出b點坐標，再結合圖象可以直接寫出答案．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y1=

k

x

的圖象與一次函數(shù)y₂=kx+m的圖象相交于A（2，1），
∴k=2×1=2，k×2+m=1，
∴k=2，m=-3，
∴y1=

2

x

，y₂=2x-3；

（2）∵點P（-1，5）關于x軸對稱點Q的坐標為（-1，-5）
∴當x=-1時，y=2×（-1）-3=-5
∴點Q在直線y₂=2x-3上，
∴S_△APQ=

1

2

×10×3=15；

（3）∵B點的縱坐標為-4，
∴-4x=2，
x=-

1

2

，
∴雙曲線與直線的兩個交點A（2，1）、B（-

1

2

，-4），
①當x＜-

1

2

或0＜x＜2時，y₁＞y₂，
②∵直線AB與x軸交于點（

3

2

，0），
∴當x＞

3

2

或x＜0時，y₁•y₂＞0．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式，畫反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，判斷點是否在函數(shù)圖象上，利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數(shù)解析式，反過來如果這點滿足函數(shù)的解析式，那么這個點也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大�。畬�數(shù)形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法．