Question

已知：在△ABC中，BC＞AC，動點D繞△ABC的頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)，且AD=BC，連接DC．過AB、DC的中點E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點M、N．

如圖1，當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時，點N恰好與點F重合，取AC的中點H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論∠AMF=∠BNE（不需證明）；當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時，∠AMF與∠BNE的數(shù)量關(guān)系是

 

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Answer 1

分析：取AC的中點H，連接HE、HF，當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時，由F為DC的中點，E為AB的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到FH∥AD，且FH=

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2

AD；HE∥BC，且HE=

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2

BC，得到∠HFE=∠AMF，∠HEF=∠ENB，HE=HF，則∠HEF=∠HFE，所以∠AMF=∠BNE；當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到圖3中的位置時，同理可證得∠AMF=∠BNE．

解答：解：取AC的中點H，連接HE、HF，如圖，
當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時，
∵F為DC的中點，E為AB的中點，
∴FH∥AD，且FH=

1

2

AD；HE∥BC，且HE=

1

2

BC，
∴∠HFE=∠AMF，∠HEF=∠ENB，HE=HF，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠AMF=∠BNE；
當(dāng)點D旋轉(zhuǎn)到圖3中的位置時，
用同樣的方法可證明∠HFE=∠AME，∠HEF=∠BNE，
而∠HFE=∠HEF，
∴∠AME=∠BNE，
而∠AMF+∠AME=180°，
∴∠AMF+∠BNE=180°．
故答案為：∠AMF=∠BNE或∠AMF+∠BNE=180°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行并且等于第三邊的一半．