Question

【題目】已知拋物線y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若a=b=1，且當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個公共點(diǎn)，求c的取值范圍；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0時(shí)，對應(yīng)的y1＞0；x2=1時(shí)，對應(yīng)的y2＞0，試判斷當(dāng)0＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，請證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=b=1，c=﹣1時(shí)，拋物線為y=3x2+2x﹣1，

方程3x2+2x﹣1=0的兩個根為x1=﹣1， ．

∴該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0）和（ ，0）；

（Ⅱ）當(dāng)a=b=1時(shí)，拋物線為y=3x2+2x+c，且與x軸有公共點(diǎn)．

對于方程3x2+2x+c=0，判別式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．

①當(dāng) 時(shí)，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．

此時(shí)拋物線為y=3x2+2x+ 與x軸只有一個公共點(diǎn)（﹣ ，0）；

②當(dāng) 時(shí)，x1=﹣1時(shí)，y1=3﹣2+c=1+c；

x2=1時(shí)，y2=3+2+c=5+c．

由已知﹣1＜x＜1時(shí)，該拋物線與x軸有且只有一個公共點(diǎn)，考慮其對稱軸為 ，

應(yīng)有 即 ，

解得﹣5＜c≤﹣1．

綜上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）

（Ⅲ）對于二次函數(shù)y=3ax2+2bx+c，

由已知x1=0時(shí)，y1=c＞0；

x2=1時(shí)，y2=3a+2b+c＞0，

又∵a+b+c=0，

∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．

∴2a+b＞0．

∵b=﹣a﹣c，

∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．

∴a＞c＞0．（7分）

∵關(guān)于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判別式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，

∴拋物線y=3ax2+2bx+c與x軸有兩個公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在x軸下方．

又該拋物線的對稱軸 ，

由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，

得﹣2a＜b＜﹣a，

∴ ．

又由已知x1=0時(shí)，y1＞0；

x2=1時(shí)，y2＞0，觀察圖象，

可知在0＜x＜1范圍內(nèi)，該拋物線與x軸有兩個公共點(diǎn)．

【解析】（Ⅰ）把a(bǔ)，b，c的值代入可得拋物線的解析式，然后令y=0可得到關(guān)于x的方程，然后求得方程的兩根，從而可得到拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）把a(bǔ)，b代入可得到拋物線的解析式，然后可求得拋物線的對稱軸為x=-，然后再分為△=0和△＞0兩種情況求解即可；
（Ⅲ）拋物線y=3ax2+2bx+c與x軸公共點(diǎn)的個數(shù)就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)，接下來，判斷出方程3ax2+2bx+c=0根的判別式的符號，依據(jù)判別式的符號得出相應(yīng)的結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解答本題的根本，需要知道一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．