Question

【題目】一個三位正整數(shù)M，其各位數(shù)字均不為零且互不相等．若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，得到一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”，如：168的“友誼數(shù)”為“618”；若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字中任選兩個組成一個新的兩位數(shù)，并將得到的所有兩位數(shù)求和，我們稱這個和為M的“團結數(shù)”，如：123的“團結數(shù)”為12+13+21+23+31+32=132．
（1）求證：M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；
（2）若一個三位正整數(shù)N，其百位數(shù)字為2，十位數(shù)字為a、個位數(shù)字為b，且各位數(shù)字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“團結數(shù)”與N之差為24，求N的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，

設M為100a+10b+c，則它的友誼數(shù)為：100b+10a+c，

（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）

=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c

=100（a﹣b）+10（b﹣a）

=90（a﹣b），

∵ ，

∴M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除

（2）解：由題意可得，

N=2×100+10a+b=200+10a+b，

N的團結數(shù)是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，

∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，

解得， 或 ，

即N是284或218

【解析】（1）設出字母，表示出這個三位數(shù)，按照新定義，表示出友誼數(shù)，作差，得出差的代數(shù)式，很容易看出能被15整除；（2）用a、b的代數(shù)式表示這個三位數(shù)，表示出團結數(shù)，由已知構建方程，求出a、b.
【考點精析】本題主要考查了用字母表示數(shù)的相關知識點，需要掌握單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式才能正確解答此題．