Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D、PE∥AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，DE與PE交于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）線段AD的長(zhǎng)為　 　．（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，求t的值．

（3）設(shè)△DPE與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）若線段PE的中點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC一邊垂直平分線上時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

【答案】（1）4t；（2）t的值為1；（3）S＝；（4）t的值為或或1．

【解析】

（1）解直角三角形求出AB，根據(jù)cosA==求解即可．
（2）首先證明四邊形APED是平行四邊形，由=，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形：①如圖1中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，②如圖3中，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，分別求解即可．
（4）分三種情形：①如圖4-1中，當(dāng)點(diǎn)Q落在線段AC的垂直平分線MN上時(shí)．②如圖4-2中，當(dāng)點(diǎn)Q落在線段AB的垂直平分線MN上時(shí)．③如圖4-3中，當(dāng)點(diǎn)Q落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10，

∵PD⊥AC，

∴cosA＝=，

∴＝，

∴AD＝4t，

故答案為4t．

（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，

∵DE∥AB，PE∥AD，

∴四邊形APED是平行四邊形，

∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，

∴=，

∴＝

解得t＝1，

∴當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，t的值為1．

（3）①如圖1中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是△PDE，

∵PE∥AD，

∴∠DPE＝∠ADP＝90°，

∵DE＝5t，PE＝4t，

∴PD＝3t，

∴S＝PDPE＝×3t×4t＝6t2．

②如圖3中，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S＝（MN+PD）PN＝ [3t+3t﹣（10﹣5t）]（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24．

綜上所述，S＝．

（4）①如圖4﹣1中，當(dāng)點(diǎn)Q落在線段AC的垂直平分線MN上時(shí)，

由題意：，可得，解得t＝．

②如圖4﹣2中，當(dāng)點(diǎn)Q落在線段AB的垂直平分線MN上時(shí)，

由題意：，可得，解得t＝

③如圖4﹣3中，當(dāng)點(diǎn)Q落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，AP＝PB，此時(shí)t＝1，

綜上所述，滿足條件的t的值為或或1．