【題目】如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(1,4),拋物線與y軸交于點(diǎn)B(0,3),與x軸交于C,D兩點(diǎn).點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當(dāng)PA+PB的值最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q(Q與B不重合),使△CDQ的面積等于△BCD的面積?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4;(2)當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0);(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,3)或(1﹣,﹣3)或(1+,﹣3).
【解析】
(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y=a(x-1)2+4,然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a的值,即可得解;(2)先求出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo),連接AB′與x軸相交,根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題,交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AB′的解析式,再求出與x軸的交點(diǎn)即可.(3)S△CDQ=S△BCD且CD是兩三角形的公共底邊知|yQ|=yB=3,據(jù)此得yQ=3或yQ=-3,再分別求解可得.
解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為A(1,4),
∴設(shè)拋物線的解析式y=a(x﹣1)2+4,
把點(diǎn)B(0,3)代入得,a+4=3,
解得a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4;
(2)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(0,﹣3),
由軸對(duì)稱確定最短路線問題,連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b(k≠0),
則,
解得,
∴直線AB′的解析式為y=7x﹣3,
令y=0,則7x﹣3=0,
解得x=,
所以,當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0).
(3)∵S△CDQ=S△BCD,且CD是兩三角形的公共底邊,
∴|yQ|=yB=3,
則yQ=3或yQ=﹣3,
當(dāng)yQ=3時(shí),﹣(x﹣1)2+4=3,
解得:x=0或x=2,
則點(diǎn)Q(2,3);
當(dāng)yQ=﹣3時(shí),﹣(x﹣1)2+4=﹣3,
解得:x=1﹣或x=1+,
則點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1﹣,﹣3)或(1+,﹣3);
綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,3)或(1﹣,﹣3)或(1+,﹣3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級(jí)學(xué)生共900人,為了解這個(gè)年級(jí)學(xué)生的體能,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行1 min的跳繩測(cè)試,并指定甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對(duì)這次測(cè)試結(jié)果的數(shù)據(jù)作出整理,下圖是這四名同學(xué)提供的部分信息:
甲:將全體測(cè)試數(shù)據(jù)分成6組繪成直方圖(如圖);
乙:跳繩次數(shù)不少于105次的同學(xué)占96%;
丙:第①、②兩組頻率之和為0.12,且第②組與第⑥組頻數(shù)都是12;
。旱冖凇ⅱ邸ⅱ芙M的頻數(shù)之比為4:17:15。
根據(jù)這四名同學(xué)提供的材料,下面有四個(gè)推斷:
①這次跳繩測(cè)試共抽取了150人;②該年級(jí)跳繩次數(shù)的中位數(shù)在115~125之間
③第4組的人數(shù)為45人 ④如果跳繩次數(shù)不少于135次為優(yōu)秀,根據(jù)這次調(diào)查結(jié)果,估計(jì)全年級(jí)達(dá)到跳繩優(yōu)秀的人數(shù)可以超過250人,其中合理的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn),DE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC,連接CE.試判斷CE和DF的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)(為常數(shù),且)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于,兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D,E在△ABC的邊BC上,AB=AC,AD=AE.
(1)求證:BD=CE;
(2)若AD=BD=DE,求∠BAC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過對(duì)《勾股定理》的學(xué)習(xí),我們知道:如果一個(gè)三角形中,兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形一定是直角三角形.如果我們新定義一種三角形——兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.
(1)根據(jù)奇異三角形的定義,請(qǐng)你判斷:等邊三角形一定是奇異三角形嗎?
(填“是”或不是);
(2)若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、、2,則該三角形是不是奇異三角形,請(qǐng)做出判斷并寫出判斷依據(jù);
(3)在中,兩邊長(zhǎng)分別為,且且,則這個(gè)三角形是不是奇異三角形?請(qǐng)做出判斷并寫出判斷依據(jù);
探究:Rt中,,且b>a,若Rt是奇異三角形,求.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上,點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上,AD∥x軸,AB⊥x軸于B,DC⊥x軸于C,若OB=OC,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上,∠BDA=∠AEC=∠BAC,BD=3,CE=6,則DE的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,已知,的垂直平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接.
(1)若,則的度數(shù)是 ;
(2)若,的周長(zhǎng)是.
①求的長(zhǎng)度;
②若點(diǎn)為直線上一點(diǎn),請(qǐng)你直接寫出周長(zhǎng)的最小值.
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