Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

（1）求二次函數(shù)解析式及對稱軸方程；
（2）連接BC，交對稱軸于點E，求E點坐標；
（3）在y軸上是否存在一點M，使△BCM為等腰三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在第四象限內(nèi)拋物線上是否存一點H，使得四邊形ACHB的面積最大？若存在，求出點H坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A，B兩點坐標代入y=ax2+bx﹣3得：

，解得a=1，b=﹣2，

所以二次函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3，

對稱軸方程為：直線x=﹣ =1

（2）解：如圖1，y=x2﹣2x﹣3，

∴C（0，﹣3），

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），

把B（3，0）和C（0，﹣3）代入得： ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣3，

當x=1時，y=1﹣3=﹣2，

∴E（1，﹣2）

（3）解：存在：

如圖2，有四種情況：

①當BC=BM1時，

∵x軸⊥y軸，

∴OM1=OC=3，

∴M1（0，3），

②當BC=CM2時（M2在點C的上方），

∵BC= =3 ，

∴CM2=3 ，

∴OM2=3 ﹣3，

∴M2（0，3 ﹣3），

③當BC=CM3時（M3在C的下方），

∴OM3=3 +3，

∴M3（0，﹣3﹣3 ），

④作BC的中垂線，交BC于E，交y軸于M4，

cos∠M4CB= ，

∴ ，

CM4=3，即M4與原點O重合，

∴M4（0，0），

綜上所述，點M的坐標為：M1（0，3），M2（0，3 ﹣3），M3（0，﹣3﹣ ），M4（0，0）

（4）解：如圖3，連接OH，設(shè)H點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），

S四邊形ACHB=S△AOC+S△COH+S△BOH，

= + x+ |x2﹣2x﹣3|，

= + x+ （﹣x2+2x+3），

=﹣ + x+6，

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，四邊形ACHB的面積最大，

∴當x0= 時，x02﹣2x0﹣3= ，

所以點H坐標為 ．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式，利用對稱軸公式求對稱軸方程；
（2）利用求BC解析式求點E的坐標為（1，-2）；
（3）分別以△BCM的三邊為腰畫等腰三角形，與y軸有四個交點，分別求出M點的坐標即可；
（4）設(shè)H點坐標為（x，x2-2x-3），因為H在第四象限，可以取H的縱坐標的相反數(shù)為△OBH的高，利用面積和表示四邊形ACHB的面積，利用二次函數(shù)的最值得結(jié)論．



【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．