(2006•成都)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點B(-2,0),A(m,0)(-<m<0),以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD,點E是線段OD與正方形ABCD的外接圓除點D以外的另一個交點,連接BE與AD相交于點F.
(1)求證:BF=DO;
(2)設(shè)直線l是△BDO的邊BO的垂直平分線,且與BE相交于點G.若G是△BDO的外心,試求經(jīng)過B、F、O三點的拋物線的解析表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,在拋物線上是否存在點P,使該點關(guān)于直線BE的對稱點在x軸上?若存在,求出所有這樣的點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)本題可通過全等三角形來證簡單的線段相等,三角形ABF和ADO中,根據(jù)圓周角定理可得出∠ABF=∠ADO,已知了一組直角和AB=AD,因此兩三角形全等,即可得出BF=OD的結(jié)論.
(2)如果G是三角形BDO的外心,根據(jù)三角形外心定義可知BE必垂直平分OD,因此三角形BOD是等腰三角形.在等腰直角三角形ABD中,BD=BO=2,AB=OB-OA=2+m,因此可根據(jù)AB、BD的比例關(guān)系求出m的值,即可得出OA的長,而在(1)得出的全等三角形中,可得出OA=FG,據(jù)此可求出F點坐標(biāo).已知了B、F、O三點坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)在(2)中已經(jīng)證得BE是∠OBD的角平分線,因此P點必為直線BD與拋物線的交點,先求出直線BD的解析式,然后聯(lián)立拋物線的解析式可得出P點坐標(biāo).
解答:(1)證明:在△ABF和△ADO中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAF=∠DAO=90°.
又∵∠ABF=∠ADO,
∴△ABF≌△ADO,
∴BF=DO.

(2)解:由(1),有△ABF≌△ADO,
∵AO=AF=m.
∴點F(m,m).
∵G是△BDO的外心,
∴點G在DO的垂直平分線上.
∴點B也在DO的垂直平分線上.
∴△DBO為等腰三角形,
∵AB=AD,
在Rt△BAD中,由勾股定理得:BO=BD=AB.
而|BO|=2,|AB|=|-2-m|=2+m,
∴2=(2+m),
∴m=2-2
∴F(2-2,2-2).
設(shè)經(jīng)過B,F(xiàn),O三點的拋物線的解析表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0).
∵拋物線過點O(0,0),
∴c=0.
∴y=ax2+bx. ①
把點B(-2,0),點F(2-2,2-2)的坐標(biāo)代入①中,


解得
∴拋物線的解析表達(dá)式為y=x2+x.②

(3)解:假定在拋物線上存在一點P,使點P關(guān)于直線BE的對稱點P'在x軸上.
∵BE是∠OBD的平分線,
∴x軸上的點P'關(guān)于直線BE的對稱點P必在直線BD上,
即點P是拋物線與直線BD的交點.
設(shè)直線BD的解析表達(dá)式為y=kx+b,并設(shè)直線BD與y軸交于點Q,則由△BOQ是等腰直角三角形.
∴|OQ|=|OB|.
∴Q(0,-2).
把點B(-2,0),點Q(0,-2)代入y=kx+b中,


∴直線BD的解析表達(dá)式為y=-x-2
設(shè)點P(x,y),則有y=-x-2. ③
把③代入②,得x2+x=-x-2,
x2+(+1)x+2=0,
即x2+2(+1)x+4=0.
∴(x+2)(x+2)=0.
解得x=-2或x=-2.
當(dāng)x=-2時,y=-x-2=2-2=0;
當(dāng)x=-2時,y=-x-2=2-2
∴在拋物線上存在點P1(-2,0),P2(-2,2-2),它們關(guān)于直線BE的對稱點都在x軸上.
點評:本題有一定的難度,綜合性也比較強(qiáng),有一定的新意,第3小問有些難度,有一定的能力要求,解這種題時需冷靜地分析題意,找到切入點不會很難.
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