Question

I為△ABC的內(nèi)心．取△IBC，△ICA，△IAB的外心O₁，O₂，O₃．求證：△O₁O₂O₃與△ABC有公共的外心．

Answer 1

證明：連接AO并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于M，連接BM，CM，BI，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠IAB=∠IAC，∠IBA=∠IBC，
∴弧BM=弧CM，
∴BM=CM，∠IAB=∠IAC=∠MBC，
∵∠BIM=∠BAM+∠IBA，∠IBM=∠IBC+∠MBC，
∴∠BIM=∠IBM，
∴BM=IM，
即：BM=IM=MC，
∴M是△IBC的外接圓的圓心，
∵△IBC的外心是O₁，
∴O₁與M重合，
即O₁在△ABC的外接圓上，
同理：O₂、O₃也在△ABC的外接圓上，
∴△O₁O₂O₃與△ABC有公共的外心．
分析：連接AO并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于M，連接BM，CM，BI，根據(jù)內(nèi)心的定義和三角形的外角性質(zhì)推出∠BIM=∠IBM和BM=CM，即可證出BM=IM=MC，得到M是△IBC的外接圓的圓心，即與O₁重合（也就是說(shuō)O₁在△ABC的外接圓上），同理：O₂、O₃也在△ABC的外接圓上，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，三角形的外接圓和外心，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，求出O₁與△IBC的外接圓的圓心M重合，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度．