【題目】問題背景(1)如圖1,△ABC中,DE∥BC分別交AB,AC于D,E兩點,過點E作EF∥AB交BC于點F.請按圖示數(shù)據(jù)填空:△EFC的面積S1= ,△ADE的面積S2=

探究發(fā)現(xiàn)(2)在(1)中,若BF=m,F(xiàn)C=n,DE與BC間的距離為h.請證明S2=4S1S2

拓展遷移(3)如圖2,DEFG的四個頂點在△ABC的三邊上,若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為3、7、5,試?yán)茫?)中的結(jié)論求△ABC的面積.

【答案】(1)9;1;(2)證明見解析;(3)27.

【解析】

試題分析:(1)△EFC的面積利用底×高的一半計算;△ADE的面積,可以先過點A作AH⊥BC,交DE于G,交BC于H,即AG是△ADE的高,AH是△ABC的高,利用平行線分線段成比例定理的推論,可知△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性質(zhì)可求AG,再利用三角形的面積公式計算即可;

(2)由于DE∥BC,EF∥AB,可知四邊形DBFE是平行四邊形,同時,利用平行線分線段成比例定理的推論,可知△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,從而易得△ADE∽△EFC,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,可得S1:S2=n2:m2,由于S1=nh,那么可求S2,從而易求4S1S2,又S=mh,容易證出結(jié)論;

(3)過點G作GH∥AB交BC于H,則四邊形DBHG為平行四邊形,容易證出△DBE≌△GHF,那么△GHC的面積等于8,再利用(2)中的結(jié)論,可求DBHG的面積,從而可求△ABC的面積.

試題解析:(1)S1=×6×3=9,

過A作AH⊥BC,交DE于G,

∵DE∥BC,EF∥AB,

∴四邊形DEFB是平行四邊形,

∴DE=BF=2,

∵DE∥BC,

∴AG⊥DE,△ADE∽△ABC,

,

解得:AG=1,

∴S2=×DE×AG==1,

(2)∵DE∥BC,EF∥AB,

∴四邊形DBFE為平行四邊形,∠AED=∠C,∠A=∠CEF,

∴△ADE∽△EFC,

∵S1=nh,

∴S2=×S1=,

∴4S1S2=4×nh×=(mh)2,

而S=mh,

∴S2=4S1S2;

(3)過點G作GH∥AB交BC于H,則四邊形DBHG為平行四邊形,

∴∠GHC=∠B,BD=HG,DG=BH,

∵四邊形DEFG為平行四邊形,∴DG=EF,

∴BH=EF,

∴BE=HF,

在△DBE和△GHF中

∴△DBE≌△GHF(SAS),

∴△GHC的面積為7+5=12,

由(2)得,平行四邊形DBHG的面積S為=12,

∴△ABC的面積為3+12+12=27.

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16

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