【題目】如圖所示,在平行四邊形中,于,平分交線段于.
(1)如果,求證:;
(2)一般的情況下,如果,試探究線段、與之間的所滿足的等量關(guān)系(其中,是已知數(shù)).
【答案】(1)證明見解析;(2)nCD=mAF+nBE.
【解析】
(1)延長EA到G,使得 ,連接DG,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形,推出,求出 ,根據(jù)SAA證明 ,推出 , ,求出 ,推出 即可;
(2)延長EA到G,使得 ,連接DG,根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等,兩三角形相似,推出 ,推出 ,代入即可求出答案.
(1)過D作DH⊥BC的延長線于H點(diǎn),并截取HG=AF,連接DG
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴
∵于點(diǎn)E
∴
∴
∴
在△ABE和△DGA中
∴
∴
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
(2)nCD = mAF + nBE.
理由是:延長EA到G,使得,連接DG,
即
因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是平行四邊形
所以AB=CD,,AD=BC,
因?yàn)?/span>于點(diǎn)E
所以∠AEB=∠AEC=90°
所以∠AEB=∠DAG=90°
所以∠DAG=90°,
即∠AEB=∠GAD=90°
因?yàn)?/span>
所以
所以∠1=∠2,,
所以∠GFD=90°-∠3
因?yàn)?/span>DF平分∠ADC
所以∠3=∠4
所以∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3
所以∠GDF=∠GFD
所以DG=GF
因?yàn)?/span>,AB=CD(已證)
所以nCD=mDG=m
即nCD= mAF + nBE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,射線表示一艘輪船的航行路線,從到的走向?yàn)槟掀珫|30°,在的南偏東60°方向上有一點(diǎn),處到處的距離為200海里.
(1)求點(diǎn)到航線的距離.
(2)在航線上有一點(diǎn).且,若輪船沿的速度為50海里/時(shí),求輪船從處到處所用時(shí)間為多少小時(shí).(參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四邊形EFPQ是矩形,點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,點(diǎn)Q、E、F分別在BC、AB、AC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B均不重合).
(1)當(dāng)AE=8時(shí),求EF的長;
(2)設(shè)AE=x,矩形EFPQ的面積為y.
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)x為何值時(shí),y有最大值,最大值是多少?
(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí),將矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB勻速向右運(yùn)動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果店在兩周內(nèi),將標(biāo)價(jià)為10元/斤的某種水果,經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元/斤,并且兩次降價(jià)的百分率相同.
(1)求該種水果每次降價(jià)的百分率;
(2)從第一次降價(jià)的第1天算起,第x天(x為整數(shù))的售價(jià)、銷量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示:
時(shí)間x(天) | 1≤x≤7 | 8≤x≤14 |
售價(jià)(元/斤) | 第1次降價(jià)后的價(jià)格 | 第2次降價(jià)后的價(jià)格 |
銷量(斤) | 80﹣3x | 120﹣x |
儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用(元) | 40+3x | 3x2﹣64x+400 |
已知該種水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/斤,設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元),求y與x(1≤x≤14)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出第幾天時(shí)銷售利潤最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知的直徑,弦,的平分線交于點(diǎn),過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn).
(1)求證:是的切線;
(2)求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位組織職工開展植樹活動(dòng),植樹量與人數(shù)之間的關(guān)系如表,下列說法不正確的是( )
A.參加本次植樹活動(dòng)共有29人
B.每人植樹量的眾數(shù)是4
C.每人植樹量的中位數(shù)是5
D.每人植樹量的平均數(shù)是5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E為CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)P、Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且PQ=2,當(dāng)BP=_____時(shí),四邊形APQE的周長最小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)是圓上不與點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn),連接并延長到點(diǎn),使,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接.
(1)求證:;
(2)填空:①若,當(dāng)時(shí),四邊形是菱形;
②當(dāng)四邊形是正方形時(shí), ________°
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