如圖1,在正方形ABCD中,AB=1,點E在AB延長線上,聯(lián)結CE、DE,DE交邊BC于點F,設BE,CF.
圖1
(1)求關于的函數解析式,并寫出的取值范圍;
(2)如圖2,對角線AC、BD的交點記作O,直線OF交線段CE于點G,求證:;
圖2
(3)在(2)的條件下,當時,求的值.
(1) 的取值范圍是
(2)略.
(3),
解析試題分析:(1)由正方形ABCD可得, ,則 ,
即
(2)由(1)的結論得:
又 ,即 ,
根據正方形ABCD的性質得,∴△OCF∽△EAC
故.
(3)在△中,利用勾股定理得
∵,是公共角, , ∴根據相似三角形的性質三邊對應成比例得 ∴
解得,
試題解析:(1)正方形ABCD中,DC∥AB,
∴, 即. (2分)
∴ 的取值范圍是; (2分)
(2)∵,
∴ (2分)
又∵
∴△OCF∽△EAC (2分)
∴ (1分)
(3)在△中, (1分)
∵,是公共角,
∴△OCG∽ △ECA (2分)
∴
∴, 解得, (2分)
經檢驗,都是滿足方程的解
答(略)
考點:1.相似三角形的判定。2.相似三角形的性質。
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(1)如圖所示,如果你的位置在點A,你能看到后面那座高大的建筑物嗎?為什么?
(2)如果兩樓之間相距MN=m,兩樓的高各為10m和30m,則當你至少與M樓相距多少m時,才能看到后面的N樓?
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已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.點Q是線段AC上的一個動點,過點Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長線(如圖2)于點P.
(1)當點P在線段AB上時,求證:△APQ∽△ABC;
(2)當△PQB為等腰三角形時,求AP的長.
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已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.點Q是線段AC上的一個動點,過點Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長線(如圖2)于點P.
(1)當點P在線段AB上時,求證:△AQP∽△ABC;
(2)當△PQB為等腰三角形時,求AP的長.
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如圖(1),∆ABC為等邊三角形,AB=6,在直角三角板DEF中∠F=90°,∠FDE=60°,點D在邊BC上運動,邊DF始終經過點A,DE交AC于點G.
(1)求證:①∠BAD=∠CDG
②∆ABD∽∆DCG
(2)設BD=x,若CG=,求x的值;
(3)如圖2,當D運動到BC中點時,點P為線段AD上一動點,連接CP,將線段CP繞著點C逆時針旋轉60°得到CP' ,連接BP',DP',
①求∠CBP'的度數;②求DP'的最小值.
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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點P為AC邊上的一點,將線段AP繞點A順時針方向旋轉(點P對應點P′),當AP旋轉至AP′⊥AB時,點B、P、P′恰好在同一直線上,此時作P′E⊥AC于點E.
(1)求證:∠CBP=∠ABP;
(2)求證:AE=CP;
(3)當,BP′=時,求線段AB的長.
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請在圖中補全坐標系及缺失的部分,并在橫線上寫恰當的內容。圖中各點坐標如下:A(1,0),B(6,0),C(1,3),D(6,2)。線段AB上有一點M,使△ACM∽△BDM,且相似比不等于1。求出點M的坐標并證明你的結論。
解:M( , )
證明:∵CA⊥AB,DB⊥AB,∴∠CAM=∠DBM= 度。
∵CA=AM=3,DB=BM=2,∴∠ACM=∠AMC( ),∠BDM=∠BMD(同理),
∴∠ACM= (180°- ) =45°。 ∠BDM=45°(同理)。
∴∠ACM=∠BDM。
在△ACM與△BDM中,,
∴△ACM∽△BDM(如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似)。
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