Question

【題目】操作：在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°，將一塊直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點。如圖①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況。

探究：

（1）如圖①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，則重疊部分四邊形DCEP的面積為___，周長___.

（2）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD與PE之間有什么數量關系?并結合圖②加以證明；

（3）三角板繞點P旋轉,△PBE是否能成為等腰三角形?若能,指出所有情況(即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長)；若不能，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）4，8；（2）證明見詳解；（3）CE=0或2或或；

【解析】

（1）根據點P是AB的中點可判斷出PD、PE是△ABC的中位線，繼而可得出PD、PE的長度，也可得出四邊形DCEP的周長和面積．

（2）先根據圖形可猜測PD=PE，從而連接CP，通過證明△PCD≌△PEB，可得出結論．

（3）題目只要求是等腰三角形，所以需要分四種情況進行討論，這樣每一種情況下的CE的長也就不難得出．

解：（1）根據△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，

∵PD⊥AC，PE⊥BC，

∴PD∥BC，PE∥AC，

又∵點P是AB中點，

∴PD、PE是△ABC的中位線，

∴PD=CE=2，PE=CD=2，

∴四邊形DCEP是正方形，面積為：2×2=4，周長為：2+2+2+2=8；

故答案為：4，8

（2）PD=PE；

證明如下：AC=BC，∠C=90°，P為AB中點，連接CP，

∴CP平分∠C，CP⊥AB，

∵∠PCB=∠B=45°，

∴CP=PB，

∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠DPC=∠EPB，

在△PCD和△PEB中，

,

∴△PCD≌△PBE（ASA），

∴PD=PE．

（3）△PBE是等腰三角形，

∵AC=BC=4，∠ACB=90°，

∴，

∴PB=；

①PE=PB時，此時點C與點E重合，CE=0；

②當PB=BE時，如圖，E在線段BC上，

CE＝；

③當PB=BE時，如圖，E在CB的延長線上，CE＝；

④當PE=BE時，此時，點E是BC中點，則CE=2．

綜合上述，CE的長為：0或2或或；