Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= x2﹣ x﹣2與x軸交與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BD

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P時(shí)x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l，交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD于點(diǎn)N
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與O、B重合），求m為何值時(shí)，線段MN的長度最大，并說明此時(shí)四邊形DCMN是否為平行四邊形
②當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)M，使△BDM是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y= x2﹣ x﹣2中，令y=0可得0= x2﹣ x﹣2，解得x=﹣1或x=4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

在y= x2﹣ x﹣2中，令x=0可得y=﹣2，

∴C（0，﹣2）；

（2）

①∵D與C關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴D（0，2），且B（4，0），

∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+2，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得4k+2=0，解得k=﹣ ，

∴直線BD解析式為y=﹣ x+2，

∵P（m，0），

∴N（m，﹣ m+2），M（m， m2﹣ m﹣2），

∵P在線段OB上，

∴M在x軸下方，

∴MN=﹣ m+2﹣（ m2﹣ m﹣2）=﹣ m2+m+4=﹣ （m﹣1）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)m=1時(shí)，MN有最大值，最大值為 ，

∵CD=4≠M(fèi)N，

∴四邊形DCMN不是平行四邊形；

②∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)M在第四象限，

∴∠MDB≠90°，

當(dāng)△BDM是以BD為直角邊的直角三角形時(shí)，只有MB⊥BD，如圖，

設(shè)P（m，0），則M（m， m2﹣ m﹣2），且B（4，0），D（0，2），

∴BP=4﹣m，PM=﹣ m2+ m+2，OB=4，OD=2，

∵∠MBD=90°，

∴∠OBD+∠PBM=∠ODB+∠OBD=90°，

∴∠ODB=∠PMB，

∴△OBD∽△PMB，

∴ = ，即 = ，解得m=3或m=4（舍去），

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣2）．

【解析】（1）利用拋物線解析式容易求得A、B、C的坐標(biāo)；（2）①可求得直線BD的解析式，利用m可表示出MN的長，則可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得MN的最大值，再判斷MN與CD是否相等即可；②由題意可知只能BM⊥BD，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出BP和MP的長，利用△OBD∽△PMB，可得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，從而可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對(duì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的理解，了解若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．